Soluzioni
  • Il metodo più veloce e semplice per risolvere l'equazione esponenziale

    3^{x}=16\cdot 3^{1-x}+2

    consiste nell'applicare le proprietà delle potenze per fare in modo che tutti i termini esponenziali abbiano la stessa base e lo stesso esponente. In particolare, il termine 3^{1-x} dovrà essere rielaborato in modo da facilitare la risoluzione. In virtù della proprietà sul rapporto di potenze con la stessa base, letta al contrario, possiamo scrivere:

    3^{1-x}=\frac{3}{3^{x}}

    pertanto l'equazione diventa

    3^{x}=16\cdot\frac{3}{3^{x}}+2

    Operiamo la sostituzione t=3^{x} e osserviamo che dalla positività di 3^{x} segue anche quella di t, ossia t>0

    t=16\cdot\frac{3}{t}+2

    Moltiplichiamo a destra e a sinistra per t, in modo da ricondurci a un'equazione di secondo grado

    t^2=48+2t \ \ \ \to \ \ \ t^2-2t-48=0

    Per poter ricavare le soluzioni possiamo avvalerci del delta quarti, proprio perché il coefficiente di t è un numero pari. Posto:

    a=1 \ \ \ , \ \ \ b=-2 \ \ \ , \ \ \  c=-48

    si ha quindi:

    \frac{\Delta}{4}=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac=1+48=49

    e

    t_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\frac{\Delta}{4}}}{a}=1\pm 7=\begin{cases}-6=t_1\\ \\ 8=t_2\end{cases}

    Sia chiaro, i due valori sono le soluzioni dell'equazione in t e non dell'equazione di partenza: dobbiamo infatti ripristinare l'incognita x tenendo conto della sostituzione fatta.

    Poiché t=3^{x}, la relazione t=-6 si traduce nell'equazione esponenziale elementare

    3^{x}=-6

    che però non ammette soluzioni perché il primo membro non può mai coincidere con il secondo giacché discordi tra loro: 3^{x} è sempre positivo, -6 sempre negativo.

    La relazione t=8 si tramuta invece nell'equazione

    3^{x}=8

    da cui, applicando ai due membri il logaritmo in base 3, ricaviamo

    x=\log_{3}(8)

    che è la soluzione dell'equazione. In chiosa all'esercizio, osserviamo che il risultato può essere espresso in termini di logaritmi in base 10: è sufficiente avvalersi della formula del cambiamento di base

    \log_{a}(b)=\frac{\log_{c}(b)}{\log_{c}(a)}

    e scrivere l'uguaglianza

    \log_{3}(8)=\frac{\log_{10}(8)}{\log_{10}(3)}

    Ecco fatto.

    Risposta di Ifrit
 
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