Proprietà invariantiva della divisione

Sì, lo sappiamo, la divisione è certamente l'operazione più difficile, e diciamoci la verità, anche gli adulti ogni tanto commettono dei disastri nei calcoli :) È un operazione che fa paura, non gode certo di buona fama e per una sorta di riflesso, anche la proprietà che vedremo in questa lezione tende a spaventare gli alunni. Parliamo della proprietà invariantiva della divisione.

 

Nota: questa guida riguarda argomenti di terza elementare, ed è rivolta a genitori, maestri e a chiunque sia appassionato alla didattica della Scuola Primaria.

 

Nota 2: su YM sono presenti anche una lezione dedicata alla proprietà invariantiva ed una sulle proprietà della divisione, dedicate agli studenti delle scuole medie.

 

La proprietà invariantiva della divisione

 

Introduciamo la proprietà invariantiva della divisione partendo da un esempio. I bambini devono comprendere che la Matematica non è una materia astratta ed è per questo che è importante proporre dei problemi che rispecchiano la realtà che li circonda. 

 

Lester ha un piccolo orto nel quale ci sono 6 fiori bellissimi. Decide di raccoglierli e di formare dei mazzetti da 3. Quanti mazzetti riuscirà a realizzare?

 

 

Proprietà invariantiva della divisione

 

 

I bambini disegneranno 6 fiori, dopodiché li raggrupperanno a 3 a 3. Il numero di mazzetti che Lester riuscirà a costruire è 2.

 

Dopo qualche mese i fiori sbocciati sono il doppio e il nostro amico decide ancora una volta di creare dei mazzolini, ma questa volta raddoppia il numero di fiori nel mazzo. Quanti mazzolini riesce a formare questa volta?

 

Ancora una volta la rappresentazione del problema tornerà utile:

 

 

Proprietà invariantiva della divisione con i raggruppamenti

 

 

In questo caso i fiori da raggruppare sono 12, perché sono raddoppiati rispetto a prima, e questa volta li raggruppiamo a gruppi di 6 perché Lester ha deciso di fare dei mazzi di fiori più grandi. Il numero di mazzetti che Lester riuscirà a creare è sempre 2.

 

Nota tecnica: possiamo fare anche il ragionamento inverso, partire da 12 fiori e raggrupparli a gruppi di 6. In un secondo momento possiamo immaginare che i fiori sbocciati siano dimezzati, così come è dimezzato il numero di fiori in ogni mazzetto. Anche seguendo questo processo il numero di mazzetti non cambia!

 

Sia nel primo caso che nel secondo si ottiene lo stesso risultato. Sarà dovuto al caso, oppure è implicitamente intervenuta la proprietà invariantiva della divisione? La risposta è la seconda ovviamente ed è giunto il momento di proporre rigorosamente la regola mediante l'enunciato.

 

La regola della proprietà invariantiva della divisione stabilisce che: in una divisione, se moltiplichiamo o dividiamo sia il dividendo che il divisore per lo stesso numero, diverso da zero, il quoziente non cambia.

 

Per i bambini che non sono ancora pronti al formalismo matematico, può essere molto utile proporre alcuni esempi che permettano di aggirare l'ostacolo.

 

Esempi sulla proprietà invariantiva della divisione

 

1) Come primo esempio proviamo a calcolare la divisione tra 54 e 18, con l'ausilio della proprietà invariantiva applicata con un'opportuna divisione su dividendo e divisore.

 

54:18

 

La prima cosa che viene in mente è ricorrere alle divisioni in colonna, ma è davvero necessario? Prima di partire a razzo con i calcoli, invitiamo i bambini a ragionare... E se provassero a dividere per 9 sia il dividendo che il divisore?

 

 

Esempio di come si applica la proprietà invariantiva della divisione

 

 

Dividendo 54 per 9  bisogna solo ricordare la tabellina del 9

 

54:9=6

 

Il secondo passaggio consiste nel dividere il divisore per nove, anche qui è facile

 

18:9=2

 

Grazie alla proprietà invariantiva, la divisione di partenza ha lo stesso quoziente della divisione 6:2=3.

 

 

Gli alunni devono comprendere il vantaggio della proprietà: sono passati da una divisione difficile, con numeri molto grandi ad una molto più semplice, che si svolge in un batter d'occhio! Se non passa questo messaggio nella mente dei bambini, la proprietà invariantiva della divisione risulterà essere un'altra futile proprietà da imparare. Si pianta il seme per l'odio della matematica.

 

 

2) Ancora un altro esempio. Vediamo come applicare la proprietà invariantiva della divisione applicata con un'opportuna moltiplicazione su dividendo e divisore

 

45:15

 

Questa volta invitiamo gli alunni a moltiplicare il dividendo e il divisore per 2:

 

 

Proprietà invariantiva della divisione

 

 

Si moltiplica per 2 il dividendo

 

45x2=90

 

poi si moltiplica per 2 il divisore:

 

15x2=30

 

Per la proprietà invariantiva della divisione, la nuova divisione avrà lo stesso risultato della prima. Visto che 90:30=3 anche 45:15=3.

 

La divisione diventa più facile grazie alla presenza degli zeri. Dividere per 5 sia il dividendo che il divisore potrebbere essere una strada alternativa, ottenendo 9:3=3.

 

 


 

Bene bene, per ora è tutto! Come sempre l'unico consiglio che possiamo dare è il seguente: fate in modo che i bambini si allenino, partendo con operazioni facili e incrementando gradualmente la difficoltà degli esercizi. Solo così potranno interiorizzare il meccanismo e diventeranno imbattibili anche con le divisioni!

 

 

Alla prossima

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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