Proprietà dissociativa della moltiplicazione

Continuiamo il nostro percorso sulle proprietà di cui godono le operazioni. Qui parleremo la proprietà dissociativa della moltiplicazione. Il nome dovrebbe suonare familiare per gli alunni, dal momento che abbiamo già affrontato la proprietà dissociativa dell'addizione. :)

 

Nota: questa guida riguarda argomenti di terza elementare, ed è rivolta a genitori, maestri e a chiunque sia appassionato alla didattica della Scuola Primaria.

 

Nota 2: l'argomento di questa guida viene trattato anche nella lezione sulla proprietà dissociativa e in quella sulle proprietà della moltiplicazione, dedicate agli studenti della scuola media.

 

Proprietà dissociativa della moltiplicazione

 

In questo caso, iniziare con esempio di moltiplicazione con le quantità può essere elaborato e può confondere le idee, per cui preferiamo lavorare con i numeri.

 

Partire direttamente dalla regola espressa dalla proprietà dissociativa della moltiplicazione non è una cattiva idea: il prodotto di una moltiplicazione non cambia se si riscrive uno dei fattori come prodotto di altri numeri.

 

È davvero così difficile? Si sa, ormai gli alunni avranno già capito che la Matematica a parole diventa complicatissima, ma che poi nella pratica le regole diventano molto più semplici.

 

Senza indugiare troppo, invitiamo i bambini a calcolare il prodotto tra i numeri 14 e 4:

 

14x4

 

Se i bambini non sono sufficientemente allenati con il calcolo mentale possono avvalersi della moltiplicazioni in colonna:

 

\begin{array}{ccc} 1 & 4 & \times \\ & 4 & =\\\cline{1-3} 5 & 6\end{array}

 

e dunque ricorrere a carta e penna, o ad una calcolatrice. E il cervello?

 

La proprietà dissociativa della moltiplicazione viene in nostro aiuto! Cerchiamo di scrivere il numero 14 come prodotto di due numeri. Se i bambini hanno difficoltà possono utilizzare la tabella della moltiplicazione che abbiamo già visto nella lezione sulle tabelline

 

 

Proprietà dissociativa della moltiplicazione: tavola pitagorica

 

 

Se il caso lo richiede, mettiamoci nei panni degli alunni e cerchiamo, insieme a loro, il numero 14 nella tavola pitagorica. Seguiamo la tabella con il dito fino a raggiungere la prima riga e la prima colonna, i numeri che troveremo nelle celle sono i fattori che scompongono il numero.

 

Ci accorgiamo che 14 è il prodotto tra 7 e 2, ed infatti 7x2=14.

 

 

Proprietà dissociativa della moltiplicazione

 

 

Scriviamo 14 come prodotto di 7 e 2: stiamo effettuando quello che in matematica si chiama scomposizione.

 

Al secondo passaggio abbiamo 7x2x4.

 

A questo punto interviene la proprietà associativa della moltiplicazione, la quale semplifica parecchio il calcolo. Moltiplichiamo 2 e 4 così da ottenere 8.

 

Rimane da eseguire il prodotto 7x8 che i bambini troveranno con l'ausilio delle tabelline: 7x8=56.

 

Il vantaggio è evidente, no? Non è necessario impostare alcuna moltiplicazione in colonna! :)

 

 

Proponiamo un altro esempio, solo che in questo caso i bambini dovranno cavarsela da soli. L'obiettivo è calcolare

 

5x2

 

Chiediamo agli alunni di individuare il 12 nella tabella della moltiplicazione. Qui si presentano più possibilità: 12 si può scrivere come 2x6 o 4x3. Quale scegliere? Entrambi! I bambini devono pur allenarsi, dopotutto... ;)

 

5\times 12=5\times \overbrace{2\times 6}^{12}

 

A questo punto non resta che moltiplicare 5 e 2

 

\overbrace{5\times 2}^{10}\times 6

 

e in un secondo momento moltiplicare il risultato per 6

 

10x6=60

 

Fantastico, i bambini hanno determinato il risultato senza mettere in colonna la moltiplicazione: un risparmio di tempo non indifferente!

 

Cosa succede se invece sostituiamo 4x3 al posto di 12?

 

5x12=5x4x3

 

Grazie alle tabelline, che ormai i bambini conosceranno a menadito

 

\overbrace{5\times 4}^{20}\times 3= 20\times 3=60

 

Il risultato è ovviamente lo stesso nei due casi, sia prendendo la prima che la seconda scomposizione. L'unica regola che dovranno tenere a mente è la seguente: il prodotto dei due (o più) numeri che sostituiscono il fattore deve essere uguale a quest'ultimo.

 

 

Nota tecnica: a denti stretti, dobbiamo ancora una volta dire che la proprietà dissociativa non esiste in Matematica, anche se sarebbe più corretto dire che è l'altra faccia della medaglia della proprietà associativa. È una finta proprietà nata per questioni didattiche e che gli stessi insegnanti della Scuola Primaria mettono in discussione.

 

Orbene! Se i bambini utilizzano bene la proprietà dissociativa della moltiplicazione, i conti diventeranno davvero molto molto semplici da fare. Ci vuole un po' di allenamento, solo così essi saranno velocissimi e imbattibili nei calcoli a mente!

 

 

Alla prossima!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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