Proprietà associativa della moltiplicazione

Nelle guide dedicate alla seconda elementare abbiamo avuto modo di introdurre la proprietà commutativa della moltiplicazione. Qui di seguito ci occuperemo della proprietà associativa della moltiplicazione, un argomento delicato per gli alunni, che per inciso anche molti adulti tendono a dimenticare...

 

Nota: questa guida riguarda argomenti di terza elementare, ed è rivolta a genitori, maestri e a chiunque sia appassionato alla didattica della Scuola Primaria.

 

Nota 2: l'argomento è trattato in dettaglio anche nella lezione sulla proprietà associativa ed in quella sulle proprietà della moltiplicazione, dedicate agli studenti delle scuole medie.

 

La proprietà associativa della moltiplicazione

 

Prima di enunciare la proprietà associativa della moltiplicazione conviene preparare il campo e proporre ai bambini un esempio con numeri e quantità. Domandiamo ai bambini di eseguire la moltiplicazione:

 

2x3x4

 

Rappresentiamo la situazione con l'ausilio dei gruppi

 

 

Proprietà associativa della moltiplicazione proprietà-associativa-con-le-quantità
Calcoliamo prima il prodotto 2x3. Ciò significa costruire 3 gruppi (in blu) da 2 palline ciascuna. Moltiplicare il risultato per 4 significa creare 4 grupponi con 3 gruppi da 2 palline. In totale avremo 24 palline. Calcoliamo prima 3x4, ossia formiamo 4 gruppi (in verde) di 3 palline. Moltiplicare per 2 significa infine creare due grupponi (in blu) di 4 gruppi con 3 elementi ciascuno. Contando le palline otterremo ancora una volta come risultato 24.

 

 

Proviamo semplicemente a utilizzare le tabelline per avere una conferma sul risultato.

 

 

Proprietà associativa moltiplicazione e tabelline

 

 

In questo caso abbiamo moltiplicato il primo e il secondo fattore, abbiamo cioè associato i primi due fattori: 2x3=6.

 

Successivamente abbiamo moltiplicato il prodotto parziale per il terzo fattore: 6x4=24.

 

 

Cosa succederebbe se associassimo i fattori in modo diverso?

 

 

Esempio sulla proprietà associativa della moltiplicazione

 

 

Riportiamo il primo fattore, 2, e associamo tra loro il secondo e il terzo fattore, 3 e 4, così da ottenere 3x4=12.

 

In un secondo momento moltiplichiamo il primo fattore per il prodotto ottenuto in precedenza: 2x12=24.

 

Il risultato è ancora una volta 24.

 

 

Terzo esempio sulla proprietà associativa della moltiplicazione

 

 

Questa è la situazione più delicata. In questo caso abbiamo moltiplicato il primo e il terzo fattore: 2x4=8.

 

Abbiamo moltiplichiamo il risultato ottenuto per il fattore che è rimasto fuori dai giochi, ovvero 3: 8x3=24.

 

 

Alla luce del precedente esempio l'enunciato della regola della proprietà associativa della moltiplicazione sembrerà del tutto ragionevole agli alunni: in una moltiplicazione a più fattori, se sostituiamo a due o più fattori il loro prodotto, il risultato non cambia.

 

Altri esempi sulla proprietà associativa della moltiplicazione

 

Proviamo a fare qualche altro esempio:

 

3x5x4

 

Ormai i bambini conosceranno alla perfezione le tabelline e sapranno sicuramente che 3x5 fa 15, per cui il calcolo si riduce a

 

15x4=60

 

Ora proviamo a suggerire un procedimento diverso, partendo dall'associare prima il secondo ed il terzo fattore: il loro compito sarà quello di moltiplicare prima 5 e 4 tra loro.

 

3x5x4

 

5x4 fa 20, e grazie alla proprietà associativa per la moltiplicazione i bambini passaranno alla moltiplicazione a due fattori

 

3x20=60

 

Eseguire questa moltiplicazione è molto più semplice, perché la presenza dello zero semplifica molto la vita!

 

 

Un ultimo esempio, questa volta un po' più complicato per i nostri cari alunni. Proponiamo il seguente esercizio:

 

3x2x4x5

 

Eseguendo i conti da sinistra a destra, i bambini calcoleranno il primo prodotto parziale

 

3x2=6

 

e successivamente moltiplicare il prodotto ottenuto per 4

 

6x4=24

 

Infine si ritroveranno con

 

24x5=120

 

raggiungendo il risultato cercato. Tanta fatica che può essere evitata utilizzando la proprietà associativa per la moltiplicazione:

 

3x2x4x5

 

Eseguendo il prodotto tra 3 e 2 e tra 4 e 5, la tavola pitagorica ci dice che 3x2=6 e 4x5=20, per cui rimane

 

6x20=120

 

La presenza dello zero, elemento assorbente della moltiplicazione, facilita il calcolo che può essere fatto a mente!

 

Dall'esempio si evince la particolare utilità della proprietà associativa della moltiplicazione nel caso delle moltiplicazioni con più fattori, utilità che sarà opportuno ribadire agli alunni con altri opportuni esempi: non conviene partire a raffica con i calcoli. Prima è cosa buona e giusta capire se, associando determinate coppie di fattori, esiste la possibilità di semplificare i calcoli.

 

Importanza della proprietà associativa della moltiplicazione

 

Come nel caso delle proprietà già viste, l'importanza è legata all'utilità. Con la pratica, i bambini riusciranno a fare a meno della calcolatrice, miglioreranno nel calcolo mentale e alleneranno le proprie capacità analitiche.

 

 

Alla prossima

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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