Proprietà associativa dell'addizione

Dopo la serie di guide dedicate alla Geometria, con cui abbiamo concluso la parte relativa alla seconda elementare, ripartiamo con la terza tornando a parlare di Algebra ed in particolare della proprietà associativa dell'addizione. Vedremo insieme cosa dice e a cosa serve, insomma tutto quello che ci serve sapere!

 

Nota: questa guida riguarda argomenti di terza elementare, ed è rivolta a genitori, maestri e a chiunque sia appassionato alla didattica della Scuola Primaria.

 

Nota 2: su YM sono disponibili anche delle lezioni dedicate agli studenti delle scuole medie. Potete consultarle qui: proprietà associativa e proprietà dell'addizione.

 

La proprietà associativa dell'addizione

 

Cosa dice la proprietà associativa dell'addizione? Prima di proporre l'enunciato agli alunni, partiamo da un esempio. Immaginiamo di voler calcolare la seguente addizione con più addendi:

 

10+5+17+3

 

Chiediamo ai bambini se si ricordano come si esegue l'addizione con più addendi, ed eventualmente rinfreschiamone la memoria con un piccolo ripasso:

 

- si esegue il calcolo tra i primi due addendi: 10+5=15;

 

- la somma parziale viene sommata al terzo addendo: 15+17=32;

 

- la somma ottenuta nel passo precedente verrà sommata con il quarto addendo: 32+3=35.

 

Il risultato è proprio 35.

 

Ora proponiamo ai bambini un procedimento diverso. Chiediamo loro di:

 

- sommare 10 e 5:

 

10+5=15

 

che è il primo risultato parziale.

 

- Successivamente addizionare 17 e 3:

 

17+3=20

 

- Per concludere, di sommare i risultati parziali ottenuti:

 

15+20=35

 

Scriviamo il procedimento appena seguito con le parentesi:

 

10+5+17+3=

 

=(10+5)+(17+3)=

 

=15+20=35

 

Facciamo notare agli alunni che abbiamo ottenuto lo stesso risultato. L'invarianza del risultato non è casuale, perché abbiamo fatto intervenire una delle proprietà dell'addizione. In sostanza abbiamo sostituito a due addendi la loro somma, e nonostante ciò la somma finale non è cambiata.

 

Eccoci al cuore della lezione! A questo punto possiamo enunciare la regola della proprietà associativa dell'addizionenelle addizioni con più addendi, se sostituiamo due o più addendi con la loro somma, il risultato finale non cambia.

 

Esempio sulla proprietà associativa dell'addizione con le quantità

 

A questo punto, con ogni probabilità, gli alunni potrebbero manifestare qualche perplessità. Proviamo con le quantità, sarà anche un modo per riprendere l'interpretazione logica dell'addizione.

 

Immaginiamo di voler calcolare

 

3+4+6

 

e rappresentiamo le quantità in modo classico avremo tre gruppi: uno di tre elementi, uno di quattro elementi, uno di sei.

 

Chiediamo ai bambini di applicare ciò che hanno appreso sull'addizione con più addendi e guidiamoli nel calcolo. Addizioniamo i primi due addendi e facciamo notare che, dal punto di vista delle quantità, ciò corrisponde ad unire i due gruppi.

 

3+4=7

 

 

Proprietà associativa dell'addizione

 

 

Successivamente raggruppiamo i tre insiemi e continiamo le quantità coinvolte

 

7+6=13

 

che è proprio il risultato dell'addizione considerata inizialmente.

 

Ora calcoliamo l'addizione in modo diverso e raggruppiamo gli addendi in modo diverso. Prima prendiamo in considerazione l'insieme con 4 elementi e quello con 6 elementi:

 

 

Esempio proprietà associativa dell'addizione

 

 

4+6=10

 

Infine, raggruppiamo i tre insiemi e contiamo gli elementi

 

3+10=13

 

Facciamo notare ancora una volta che la somma è rimasta la stessa.

 

Nota tecnica (a vostro uso e consumo): la proprietà associativa dell'addizione riflette implicitamente il principio di conservazione delle quantità discrete. Molto più semplicemente, raggruppando in modo diverso un insieme di oggetti, il loro numero non cambia.

 

Importanza della proprietà associativa dell'addizione

 

Capire il perché di ogni cosa, in Matematica, è al contempo un obiettivo ed un incentivo. Dopo aver spiegato agli alunni la proprietà associativa dell'addizione, corroborando l'enunciato con altri esempi oltre a quelli già visti, è nostro preciso compito far sì che essi ne comprendano l'utilità.

 

La proprietà associativa dell'addizione si rivela molto utile nei calcoli, soprattutto quando abbiamo a che fare con gli amici del dieci, ovvero quei due numeri che sommati tra loro danno 10. Prima di calcolare le addizioni meccanicamente è importante prestare attenzione e cercare di semplificarci la vita.

 

La proprietà associativa, insieme alla proprietà commutativa per l'addizione, diventa uno strumento potentissimo che ci aiuterà a calcolare a mente le addizioni. 

 

Supponiamo ad esempio di voler calcolare la somma

 

13+8+7+22

 

procederemo nel modo seguente:

 

- per prima cosa utilizziamo la proprietà commutativa dell'addizione. Scambiamo di posto 8 e 7, in modo da poter sfruttare la presenza delle coppie amici del dieci

 

13+7+8+22

 

- dopo aver scambiato i posti possiamo addizionare in modo furbo. 13+7=20 e 8+22=30. Queste addizioni sono facili perché 3 e 7 sommati danno 10 così come 8 e 2

 

20+30=50

 

- questa è una semplicissima addizione. Basta sommare le unità con le unità e le decine con le decine per arrivare molto velocemente al risultato!

 

2 da + 3 da = 5 da.

 

 


 

Ecco fatto, abbiamo detto tutto quello che servirà sulla proprietà associativa per l'addizione. A voi l'onere di proporre altri esercizi ed esempi, in modo che gli alunni riescano pian piano a padroneggiarla.

 

 

Alla prossima 

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

Lezione successiva


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