Divisioni a due cifre

Con l'espressione divisione a due cifre intendiamo una divisione in colonna in cui il divisore è un numero con due cifre. La difficoltà intrinseca dell'algoritmo di calcolo ed una scarsa dimestichezza con le tabelline sono le principali cause per cui gli alunni tendono ad odiare questa operazione e, di riflesso, la Matematica: con le divisioni si manifestano i primi sintomi di matofobia, ossia la paura per la Matematica.

 

Nota: questa guida riguarda argomenti di terza elementare ed è rivolta a genitori, maestri e a chiunque sia appassionato di didattica della Scuola Primaria.

 

Nota 2: su YouMath è presente una lezione dedicata agli studenti della scuola secondaria, se siete interessati potrete trovarla qui: operazioni con i numeri naturali.

 

Come calcolare le divisioni a due cifre in colonna

 

Il procedimento per eseguire le divisioni in colonna risulta già complicato per gli alunni, perché richiede diversi passaggi intermedi. Il caso delle divisioni a due cifre in colonna, di cui parleremo tra pochissimo, risulta ulteriormente complicato. Nel caso lo riteneste necessario vi suggeriamo di guidare i bambini in un ripasso ad hoc, per poi dedicarvi con profitto alla spiegazione del caso di divisori a due cifre.

 

Nella scuola primaria, il metodo viene accompagnato da un esempio-guida ma a dirla tutta, almeno nelle prime fasi dell'apprendimento, i bambini si pongono delle domande che permettono loro di giungere al completamento dell'operazione. Incoraggiamoli in tale direzione seguendoli nei vari passaggi e, nel caso vi fossero errori, interveniamo prontamente correggendo le imprecisioni sul nascere, senza essere troppo severi ovviamente.

 

Per spiegare il calcolo delle divisioni a due cifre ci serviremo di un esempio: proponiamoci di calcolare il quoziente e il resto della divisione

 

2691:69

 

Procediamo passaggio per passaggio.

 

1) Si incolonnano il dividendo ed il divisore in colonna, in un'apposita tabella

 

 

\begin{array}{c|c}\mbox{dividendo}&\mbox{divisore}\\ \cline{2-2}&\mbox{quoziente}\\ ...\\ \cline{1-1}\mbox{resto}\end{array}

 

 

Dunque la tabella relativa alla divisione proposta sarà

 

 

\begin{array}{c|c}2\,6\,9\,2&\mbox{6\,9}\\ \cline{2-2}\end{array}

 

 

2) Si abbassano le cifre del dividendo sufficienti a formare un numero maggiore o al più uguale al divisore.

 

Nell'esempio si abbassano esattamente tre cifre.

 

In questo passo, le domande che i bambini si pongono sono:

 

- "Posso abbassare solo la prima cifra?" La risposta è no perché 2 è minore del divisore.

 

- "Posso abbassare le prime due cifre del dividendo?" Ancora non va bene, perché 26 è minore di 69.

 

- "Abbasso tre cifre del dividendo?" Il numero ottenuto è 269 che è maggiore del divisore, va bene!

 

 

\begin{array}{c|c}\widehat{2\,6\,9}\,2&\mbox{6\,9}\\ \cline{2-2}\end{array}

 

 

3) Delle cifre abbassate è sufficiente considerare quelle che formano un numero maggiore o uguale alla cifra delle decine del divisore, dopodiché ci si chiede quante volte la decina del dividendo sta nel numero: il risultato sarà il candidato quoziente parziale.

 

Nel nostro caso, il numero da considerare è 26, mentre la cifra delle decine del divisore è 6. Quante volte il 6 sta nel 24? La tabellina del sei assicura che 6x4=24 per cui 4 è il candidato quoziente parziale.

 

 

\begin{array}{c|c}{\color{red}2 \ 6 }\ 9 \ 2& {\color{red}6} \ 9 \\ \cline{2-2}\end{array}

 

 

4) Si moltiplica il candidato quoziente per il divisore. Qui si prospettano due possibilità.

 

- Se il prodotto ottenuto è minore o uguale al numero abbassato, allora lo si posiziona sotto quest'ultimo.

 

- Se il prodotto è maggiore del numero abbassato, allora il candidato quoziente parziale non va bene. In tal caso si prende il precedente del candidato quoziente parziale e si moltiplica per il divisore. Se il prodotto ottenuto è minore delle cifre abbassate, si riporta al di sotto di esse, altrimenti si ripete nuovamente il passaggio.

 

Nella divisione proposta, il candidato quoziente parziale è 4 che moltiplicato per il divisore dà come risultato

 

 

69 x 4 = 276

 

 

È troppo grande. Il candidato quoziente parziale diventa quindi 3, il precedente di 4, che moltiplicato per 69 dà 207.

 

 

\begin{array}{c|c}\widehat{{\color{red}2\,6}\,9}\,2&\mbox{{\color{red}6}\,9}\\ \cline{2-2}\end{array}\qquad\begin{matrix}69\times 4=276\quad\mbox{ No}\\ 69\times 3=207\quad\textup{ Ok}\end{matrix}

 

 

5) Si esegue la sottrazione in colonna tra le cifre abbassate e il prodotto, così da ottenere il resto parziale.

 

La sottrazione 269 - 207 dà per risultato 62.

 

 

\begin{array}{c|c}\widehat{2\,6\,9}\,2&6\,9\\ \cline{2-2}2\,0\,7\,\,\,\,&3\\ \cline{1-1}\ 6\,2\ \ \end{array}

 

 

6) Si abbassa la cifra del dividendo e si affianca al resto parziale, dopodiché si divide il numero ottenuto per il divisore, riciclando i passi 3 e 4.

 

Nell'esempio proposto il resto parziale è 622 che diviso per 69 restituisce 9. Non resta che moltiplicare il 9 per il divisore, trascriverlo sotto il resto parziale e infine sottrarre.

 

 

\begin{array}{c|c}\widehat{2\,6\,9}\,\widehat{2}&6\,9\\ \cline{2-2}2\,0\,7\,\,\,\,&3\, 9\\ \cline{1-1}\ \ 6\,2\,2 \ &\\ \ \ 6\,2\,1\,\\ \cline{1-1}=1\end{array}

 

 

L'esercizio-guida è concluso: il quoziente della divisione è 29, mentre il resto è 1, dunque

 

2691 : 69 = 29 r 1

 

Dopo aver eseguito la divisione a due cifre, chiederemo agli alunni di verificare il risultato eseguendo la prova della divisione che consiste nell'eseguire la moltiplicazione in colonna tra il quoziente per il divisore e aggiungere l'eventuale resto: se il risultato finale coincide con il dividendo, allora la divisione è stata eseguita in modo corretto, altrimenti sarà necessario ricontrollare i passaggi.

 

La prova della divisione a due cifre proposta nell'esempio-guida è:

 

 

\begin{array}{cccccc}&&6&9&\times&\\ \\ &&3&9&=& \\ \cline{1-4} &6&2&1\\ \\ 2&0&7&- \\ \cline{1-4}2&6&9&1&\end{array}\quad\quad \begin{array}{ccccc}2&6&9&1&+\\ \\&&&1&=\\ \cline{1-4}2&6&9&2&\end{array}

 

 

Poiché 2692 coincide con il dividendo, la divisione è corretta!

 

 


 

Sebbene le divisioni a due cifre siano difficili da eseguire, col tempo i bambini acquisiranno sempre più sicurezza nell'esecuzione dell'algoritmo e con un (bel) po' di esercizi riusciranno ad automatizzare l'intera procedura, portiamo pazienza. ;)

 

 

Buona Matematica a tutti

Salvatore Zungri

 

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