Divisioni in colonna

Abbiamo già parlato di divisione e abbiamo visto quali sono le sue possibili interpretazioni logiche. Qui ci occuperemo invece della divisione come operazione e del calcolo della divisione in colonna.

 

Nota: questa guida riguarda argomenti di seconda elementare, ed è rivolta a genitori, maestri e a chiunque sia appassionato alla didattica della Scuola Primaria.

 

Divisione come operazione

 

Partiamo dalla definizione di divisione come operazione. Consideriamo due numeri di cui il secondo sia diverso da zero. Il primo numero lo chiameremo dividendo, il secondo divisore.

 

Dividere il dividendo per il divisore significa trovare altri due numeri che chiameremo rispettivamente quoziente e resto. Per indicare in riga l'operazione di divisione si segue questo schema

 

Dividendo : Divisore = Quoziente r Resto

 

Dove il simbolo : si legge diviso e r si legge resto. Ad esempio

 

13:4=3 r 1 si legge "13 diviso 4 uguale a 3 e resto 1"

 

Dobbiamo tenere a mente due cose davvero importanti.

 

La prima è che il resto della divisione è un numero più piccolo del divisore.

 

La seconda è che il dividendo sarà uguale alla somma tra il resto e il prodotto tra il quoziente e il divisore

 

Dividendo = Quoziente x Divisore + Resto

 

Intuitivamente dividere significa trovare due numeri, quoziente e resto, grazie ai quali possiamo esprimere il dividendo in un modo diverso.

 

Facciamo un esempio rappresentando per bene la situazione. Vogliamo calcolare

 

13:5

 

Il dividendo è 13, il divisore è 5, e per trovare il quoziente e il resto disegniamo 13 oggetti e li raggruppiamo a gruppi di 5.

 

 

Esempio su quoziente e resto di una divisione

 

 

Il numero di gruppi rappresenta il quoziente, in questo caso 2.

Il numero di elementi rimasti fuori è il resto, in questo caso 3.

 

Moltiplichiamo il quoziente per il divisore: 5x2=10.

 

Sommiamo il resto al risultato: 10+3=13, che è proprio il divisore!

 

In base al resto possiamo classificare due tipi di divisioni: divisioni esatte e divisioni con resto.

 

Divisione esatta

 

Diremo che la divisione è esatta se il suo resto è zero (molti maestri preferiscono dire che non c'è resto). In questo caso possiamo scrivere

 

Dividendo : Divisore = Quoziente

 

sottointendendo la lettera r, visto che il resto non c'è. Inoltre il dividendo coincide con il prodotto tra il quoziente (in questi casi detto anche quoto) e il divisore:

 

Dividendo = Divisore x Quoziente

 

che mette in risalto lo stretto rapporto tra la moltiplicazione e la divisione esatta. La divisione esatta è infatti l'operazione inversa della moltiplicazione.

 

Esempi

 

12:4=3 perché 4x3=12

 

15:3=5 perché 3x5=15

 

8:2=4 perché 2x4=8

 

Divisione con resto

 

Diremo che la divisione è con resto se il resto non è zero.

 

Esempi

 

13:4 = 3 r 1 perché 13 = 4x3 + 1

 

19:3 = 5 r 4 perché 19 = 5x3 + 4

 

11:9 = 1 r 2 perché 11 = 9x1 + 2

 

Come si esegue una divisione in colonna

 

Ora comincia la fase un po' delicata, dobbiamo spiegare agli alunni come calcolare le divisioni in colonna, operazione che risulterà ben più difficile rispetto a quelle finora incontrate!

 

Perché le operazioni in colonna sono difficili? Per calcolare una divisione in colonna è necessario sapere veramente bene le tabelline e non solo, bisogna anche saper sottrarre velocemente e in modo corretto.

 

Per imparare a dividere in colonna useremo un esempio guida. Divideremo

 

7489:32

 

Innanzitutto tracciamo la tabella della divisione e disponiamo i numeri così come riportato in figura.

 

 

Divisione in colonna

 

 

Incolonnamento per la divisione

Passo 1: incoloniamo i numeri come suggerisce l'immagine precedente.

 

Nel nostro caso il dividendo e il divisore sono rispettivamente 7489 e 32.

Primo passaggio per calcolare una divisione in colonna

Passo 2: partendo dalla prima cifra di sinistra del dividendo, abbassiamo il numero minimo di cifre sufficienti a creare un nuovo numero maggiore o uguale del divisore.

 

Nel nostro caso abbasseremo le cifre 7 e 4, formando così il numero 74. Confrontiamolo con il divisore: poiché 74 è maggiore di 32 possiamo continuare.

 

Passo 3: il prossimo obiettivo è quello di trovare il più grande numero che moltiplicato per il divisore dia come risultato un numero minore o uguale al numero che abbiamo abbassato.

 

Nel nostro caso 32x2=64 che è minore di 74, mentre 32x3=96 e non va bene perché abbiamo superato 74. Scriveremo il 2 nel quoziente.

 

Passo 4: moltiplichiamo il quoziente parziale col divisore e scriviamo il risultato sotto le cifre abbassate: 32x2=64. Fatto questo dobbiamo eseguire una sottrazione: 74-64=10, che sarà il resto parziale.

Esempio di divisione in colonna

Passo 5: abbassiamo un'altra cifra del dividendo, 8, ed affianchiamola al resto parziale, ottenendo 108.

 

Ora facciamo un altro giro di giostra. Facciamo finta che 108 sia il nuovo dividendo e come prima troviamo il più grande numero che moltiplicato per il divisore ci dà un numero più piccolo o uguale a 108. Il numero cercato è 3, infatti 32x3=96 che è più piccolo di 108.

 

Passo 6: scriveremo il numero trovato vicino al precedente quoziente parziale, avendo così 23, e scriveremo il prodotto 96 sotto 108. Successivamente calcoleremo il nuovo resto parziale.

Ultimo passaggio divisione in colonna

Passo 7: abbassiamo l'ultima cifra del dividendo, una per una, e ripetiamo i passi 5 e 6.

 

Portiamo a termine il nostro esempio guida. Abbiamo abbassato il 9 affiancandolo al 12 così da ottenere il numero 129. Esso è diventato il nostro nuovo dividendo. Troviamo il più grande numero che moltiplicato per 32 dia un numero più piccolo di 129.

 

Il numero in questione è 4 perché 32x4=128. Scriviamo:

 

- il 4 a fianco del 23 nel quoziente parziale. Ricaviamo come quoziente 234;

- il prodotto tra 4 e 32 sotto a 129 e calcoliamo la sottrazione. 129-128=1, che è il resto.

 

 

 

Possiamo quindi dire che

 

7489 : 32 = 234 r 1

 

Con un po' di pratica e una buonissima conoscenza delle tabelline, gli alunni diventeranno sempre più veloci e bravi!

 

La prova per la divisione

 

Per eseguire la prova per la divisione dobbiamo distinguire due casi.

 

Se la divisione è esatta, ovvero il resto è zero, allora è sufficiente moltiplicare tra loro il quoziente e il divisore. Se il prodotto è uguale al dividendo allora la divisione è stata calcolata correttamente.

 

Esempio

 

315:15=21

 

la divisione è corretta, infatti

 

15x21=315

 

 

Prova per la divisione esatta

 

 

Per effettuare la prova nel caso della divisione con resto dobbiamo eseguire due operazioni.

 

- dobbiamo moltiplicare il quoziente con il divisore;

 

- aggiungiamo il resto al prodotto precedentemente ottenuto.

 

Se la somma coincide con il dividendo siamo certi che la divisione con resto è stata calcolata correttamente.

 

 

Esempio

 

612 : 21 = 29 r 3

 

Per verificare la correttezza del risultato moltiplichiamo 21 per 29

 

21x29=609

 

e successivamente addizioniamo 609 e il resto della divisione

 

609+3=612

 

Il risultato coincide con il dividendo della divisione, dunque è tutto ok.

 

 

Prova per la divisione con resto

 

 

Come usuale suggerimento conclusivo, vi invitiamo a sottoporre agli alunni tanti esercizi e di guidarli nella loro risoluzione. La pratica permetterà loro di acquisire il metodo di calcolo con la tabella della divisione, di acquisire sicurezza e di diventare sempre più veloci.

 

 

Buon proseguimento!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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