Proprietà commutativa per la moltiplicazione

I bambini nel calcolo delle prime moltiplicazioni avranno avuto modo di constatare che la moltiplicazione gode di una proprietà particolare: essa prende il nome di proprietà commutativa della moltiplicazione. Si tratta di una delle proprietà più note e anche chi ha un pessimo rapporto con la Matematica riesce facilmente a ricordarla. Abbiamo però notato che spesso ci sono errori nell'enunciarla...

 

Nota: prima di iniziare premettiamo ci sono anche due lezione che potrebbero interessarvi, dedicate agli studenti delle scuole Medie: proprietà commutativa e proprietà della moltiplicazione.

 

Nota: questa guida riguarda argomenti di seconda elementare, ed è rivolta a genitori, maestri e a chiunque sia appassionato alla didattica della Scuola Primaria.

 

Cos'è la proprietà commutativa della moltiplicazione?

 

La regola espressa dalla proprietà commutativa della moltiplicazione stabilisce che in una moltiplicazione tra due numeri, il prodotto non cambia se si cambia l'ordine dei fattori.

 

Ricordiamo che con prodotto si intende il risultato dell'operazione di moltiplicazione.

 

Un errore che si commette spesso nell'enunciare tale proprietà è che si sostituiscono i termini prodotto con somma e fattori con addendi, il che vuol dire che non si pone abbastanza attenzione alle parole. Attenzione a non fare confusione tra la proprietà commutativa dell'addizione con quella del prodotto!

 

Non ci soffermeremo più di tanto su questo errore, seppur di per sé interessante da un punto di vista didattico: non è lo scopo di questa guida. Dobbiamo innanzitutto convincere i bambini del fatto che la proprietà funziona proponendo alcuni esempi.

 

Ormai gli alunni dovrebbero conoscere le tabelline e ad esempio sapranno sicuramente che

 

3 x 2 = 6

 

In questa semplice moltiplicazione il primo fattore, ossia il moltiplicando, è 3. Il secondo fattore, ossia il moltiplicatore, è 2, mentre il prodotto è 6.

 

Proviamo a cambiare l'ordine tra i fattori, scriveremo:

 

2 x 3 = 6

 

Facciamo notare ai bambini che il vecchio moltiplicando è diventato il moltiplicatore, mentre il vecchio moltiplicatore è diventato il nuovo moltiplicando, ma il risultato è lo stesso.

 

Cerchiamo di approfondire un po': il nostro obiettivo è mostrare agli alunni che la proprietà commutativa della moltiplicazione funziona sempre, e per farlo utilizzeremo tutti i mezzi a nostra disposizione.

 

Proprietà commutativa della moltiplicazione sulla linea dei numeri

 

Per cominciare verifichiamo con un esempio che la moltiplicazione gode della proprietà commutativa facendo uso della linea dei numeri. Verifichiamolo ad esempio nel caso della moltiplicazione 3x2 sulla linea dei numeri.

 

Moltiplicare 3 per 2 significa effettuare 2 salti ciascuno con ampiezza pari a 3 unità. Avremo questa situazione:

 

 

Proprietà commutativa della moltiplicazione sulla linea dei numeri

 

 

Ora proviamo a cambiare l'ordine dei fattori, la nuova moltiplicazione sarà 2x3, che sulla linea dei numeri significa che dovremo effettuare 3 salti di ampiezza 2.

 

 

Scambio dei termini della moltiplicazione sulla linea dei numeri

 

 

Siamo arrivati allo stesso risultato, a conferma del fatto che la proprietà vale. Con ogni probabilità gli alunni non saranno ancora del tutto convinti e a tal proposito possiamo sempre ricorrere ad altre interpretazioni che abbiamo dato.

 

Proprietà commutativa della moltiplicazione con gli schieramenti

 

Possiamo mostrare la validità della proprietà commutativa della moltiplicazione mediante gli schieramenti. Giusto per cambiare, verificheremo la proprietà commutativa nel caso della moltiplicazione 3x5.

 

Disegniamo uno schieramento di gelati con 5 righe e tale da avere in ciascuna riga 3 oggetti.

 

 

Proprietà commutativa con gli schieramenti

 

 

I gelati sono 15, quindi 3x5=15.

 

Adesso cambiamo l'ordine dei fattori. Scriviamo 5x3 e disegniamo uno schieramento che lo rappresenti, esso avrà 3 righe con 5 elementi ciascuno.

 

 

Scambio dei termini della moltiplicazione con gli schieramenti

 

 

Anche in questo caso avremo 15 gelati. La proprietà commutativa della moltiplicazione continua a valere!

 

Proprietà commutativa della moltiplicazione con i reticoli

 

Possiamo anche mostrare, con un esempio a scelta, che la proprietà commutativa della moltiplicazione vale mediante i reticoli. Oltretutto l'utilizzo degli incroci è forse il metodo più immediato e semplice!

 

Consideriamo il prodotto 3x5 e rappresentiamo il reticolo che ha 3 righe e 5 colonne.

 

 

Proprietà commutativa della moltiplicazione con i reticoli

 

 

Il numero di incroci è 15. Adesso cambiamo l'ordine dei fattori 5x3, il reticolo in questo caso ha 5 righe e 3 colonne:

 

 

Verifica della proprietà commutativa della moltiplicazione con i reticoli

 

 

Il numero di incroci non è cambiato rispetto a prima: se contiamo bene, ci sono esattamente 15 incroci.

 

A cosa serve la proprietà commutativa della moltiplicazione?

 

Abbiamo detto cos'è la proprietà commutativa della moltiplicazione, ma a cosa serve? In che modo può aiutarci? Qui di seguito vi proponiamo i suoi principali utilizzi.

 

 

1) Ci aiuta a ricordare le tabelline.

 

Immaginiamo di non ricordare quanto fa 8x3. Se però ci ricordassimo la tabellina del 3, basterebbe cambiare l'ordine dei fattori e, per la proprietà commutativa della moltiplicazione, ricordare che 3x8=24.

 

 

2) Ci permette di verificare la correttezza del risultato delle moltiplicazioni in colonna.

 

Vediamo come fare, come al solito facciamo riferimento ad un esempio: vogliamo calcolare la moltiplicazione 23x15, ovviamente in colonna. Una volta eseguita l'operazione, cambiamo l'ordine dei fattori: 15x23 ed eseguiamo l'operazione in colonna.

 

Se i due risultati coincidono allora abbiamo svolto correttamente i conti. Se i due risultati sono diversi, allora abbiamo evidentemente sbagliato nel calcolo di una delle due operazioni e sarà il caso di ripeterli entrambi.

 

 

Verifica della moltiplicazione in colonna con la proprietà commutativa

 

 

Entrambi i risultati coincidono quindi l'operazione in colonna è corretta.

 

 


 

Bene, per ora è tutto gente! Sarà fondamentale per i bambini esercitarsi moltissimo e svolgere parecchi esercizi, a voi il compito di assisterli.

 

 

Buon proseguimento!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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