Interpretazione della moltiplicazione con il prodotto cartesiano

Moltiplicare due numeri può diventare un'impresa soprattutto quando questa nuova operazione viene spiegata senza il giusto metodo. Bisogna giustificare in tutti i modi possibili la sua introduzione. Nella lezione precedente abbiamo visto che la moltiplicazione è un modo per esprimere una addizione ripetuta, qui vedremo la moltiplicazione come la cardinalità del prodotto cartesiano.

 

Nota: questa guida riguarda argomenti di seconda elementare, ed è rivolta a genitori, maestri e a chiunque sia appassionato alla didattica della Scuola Primaria.

 

Nota 2: per chi fosse interessato c'è anche una lezione sul prodotto cartesiano dedicata agli studenti delle scuole medie.

 

Moltiplicazione come cardinalità del prodotto cartesiano

 

Parole difficilissime per un bambino! Sarebbe meglio andarci piano, anche perché questo approccio richiede molte conoscenze pregresse: il concetto di insieme, di cardinalità di un insieme finito, del concetto di coppia (ordinata). Insomma, non è una strada semplice da percorrere. Pochi insegnanti scelgono questo approccio, ma non va assolutamente sottovalutato.

 

Che cos'è il prodotto cartesiano tra due insiemi?

 

La definizione di prodotto cartesiano richiede un piccolo ripasso sugli insiemi (finiti) e sulla loro cardinalità che ricordiamo essere il numero degli elementi che compongono gli insiemi.

 

Consideriamo due insiemi finiti A e B. Chiameremo prodotto cartesiano tra A e B, e lo indicheremo con AxB, il nuovo insieme formato da tutte le coppie ordinate tra A e B.

 

Cominciamo a proporre degli esempi concreti.

 

I nostri amici Lester e Ester vanno in una pizzeria. Sul menù trovano le seguenti pietanze: pizza, patatine, panino. Vediamo cosa possono scegliere i 2:

 

 

Rappresentazione sagittale del prodotto cartesiano

 

 

Nell'immagine abbiamo creato due insiemi, nel primo insieme abbiamo Lester ed Ester, nel secondo insieme abbiamo i piatti presenti nel menù: pizza, patatine e panino. Inoltre abbiamo collegato ciascun elemento del primo insieme con tutti i piatti presenti attraverso delle frecce che partono dal primo e arrivano al secondo insieme. 

 

Con l'aiuto delle frecce possiamo creare le coppie ordinate.

 

 

Coppie ordinate di un prodotto cartesiano

 

 

Un altro modo per rappresentare le coppie ordinate è utilizzare una tabella a doppia entrata.

 

Tabelle a doppia entrata

 

Una tabella a doppia entrata è formata da tante righe e da tante colonne. Nella prima colonna scriveremo gli elementi del primo insieme mentre nella prima riga scriveremo gli elementi del secondo insieme. Riempiremo la tabella inserendo le coppie ordinate.

 

Vediamo come si costruiscono le coppie: il primo elemento della coppia non è altro che il primo elemento della riga corrispondente; il secondo elemento invece è il primo elemento della colonna corrispondente.

 

Riprendiamo l'esempio precedente. Gli insiemi sono

 

A=\{\mbox{Lester , Ester}\},\ \ \ B=\{\mbox{pizza, patatine, panino}\}

 

Costruiamo la tabellina e riempiamola.

 

 

PIZZA PATATINE PANINO
LESTER (Lester, pizza) (Lester, patatine) (Lester, panino)
ESTER (Ester, pizza) (Ester, patatine) (Ester, panino)

 

 

Abbiamo creato tutte le possibili coppie con gli elementi dei due insiemi!

 

Prodotto tra due numeri

 

Dopo aver spiegato agli alunni che cos'è il prodotto cartesiano tra due insiemi, possiamo passare a parlare di prodotto tra due numeri come cardinalità del prodotto cartesiano. Attenzione, dovremo necessariamente usare una parola che risulterà difficile per i bambini: cardinalità. In realtà l'hanno già incontrata in passato, ma ripassare non fa mai male...

 

Per cardinalità di un insieme si intende il numero di elementi che egli ha. In realtà potremmo fare a meno di un termine così complicato, ma per gli alunni è utile imparare parole nuove.

 

Partiamo da un esempio. Vogliamo calcolare il prodotto

 

2x3

 

Il trucco è costruire due insiemi:

 

- il primo con tanti elementi quante sono le unità del moltiplicando, nel nostro esempio 2;

 

- il secondo con tanti elementi quante sono le unità del moltiplicatore, nel nostro esempio 3. 

 

Per rendere più interessante il processo potremo utilizzare dei disegni. Qui abbiamo scelto di utilizzare il cappellino di Lester e la sua sciarpa.

 

 

Tabella a doppia entrata per la moltiplicazione

 

 

Adesso contiamo tutte le coppie che abbiamo creato, esse sono sei. Pertanto 2x3=6.

 

 

Grazie al prodotto cartesiano possiamo definire la moltiplicazione: il prodotto tra due numeri è uguale al numero delle coppie che si possono formare con due insiemi:

 

- il primo dei quali ha tanti elementi quanti sono le unità del moltiplicando;

 

- il secondo ha invece tanti elementi quanti sono le unità del moltiplicatore. 

 

Abbiamo raggiunto il cuore della questione: abbiamo dato una definizione alternativa alla moltiplicazione e lo abbiamo fatto con l'aiuto degli insiemi.

 

Moltiplicare per 0 e moltiplicare per 1 con il prodotto cartesiano

 

Abbiamo già detto che il prodotto tra un numero qualsiasi e 0 dà 0, esso è infatti l'elemento assorbente della moltiplicazione. Vediamo di giustificarne il risultato con il prodotto cartesiano.

 

Consideriamo la moltiplicazione

 

3x0

 

Cosa vuol dire? Significa costruire due insiemi, uno di tre elementi, l'altro con 0 elementi. Quante coppie possiamo creare? Nessuna coppia! Quindi il prodotto cartesiano è formato da 0 coppie, pertanto

 

3x0 = 0

 

Questo giustifica ancora una volta del perché lo zero è un numero speciale per la moltiplicazione.

 

 

Ora occupiamoci dell'elemento neutro per la moltiplicazione, cioè l'1, mediante il prodotto cartesiano. Dire che 1 è l'elemento neutro per la moltiplicazione significa che la moltiplicazione tra un numero e 1 dà sempre il numero.

 

Vediamo come utilizzare il prodotto cartesiano per dimostrare questa proprietà: basta costruire due insiemi, uno che ha tanti elementi quante sono le unità del numero e l'altro con un solo elemento. Il numero di coppie che possiamo costruire coincide con il numero.

 

 


 

 

È tutto, ma non scappate! Nella successiva guida didattica ci occuperemo di schieramenti e reticoli. ;)

 

 

Buon proseguimento!

Salvatore Zungri (Ifrit) 

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