[Quinta elementare] Circonferenza e cerchio

Nelle precedenti puntate abbiamo parlato di poligoni e di area dei poligoni; in questa guida continueremo a parlare di figure piane, ma ci occuperemo di figure che non sono poligoni: il cerchio e la circonferenza. Oltre a fornire le definizioni di base, proporremo ai bambini delle dimostrazioni elementari su come si determinano le formule della circonferenza e dell'area del cerchio.

 

Nota: questa guida riguarda argomenti di quinta elementare, ed è rivolta a genitori, maestri e a chiunque sia appassionato di didattica della Scuola Primaria.

 

Nota 2: su YouMath è presente una lezione rivolta agli studenti delle scuole medie. Potete consultarla qui: circonferenza e cerchio.

 

Cosa sono la circonferenza e il cerchio

 

Se i bambini guardano attentamente l'ambiente che li circonda possono certamente osservare oggetti rotondi:

 

 

Esempi concreti su circonferenza e cerchio

 

 

La luna piena, una moneta, una ruota o ancora un'anello sono buoni esempi di oggetti che ricordano il cerchio e la circonferenza. Ma cosa sono queste due figure geometriche?

 

La circonferenza è una linea semplice chiusa (linee e tipi di linee) caratterizzata dal fatto che ogni suo punto è alla stessa distanza da un punto speciale detto centro. Il raggio è un segmento che congiunge il centro con un qualsiasi punto della circonferenza.

 

 

Raggio e centro di una circonferenza

 

 

Esistono infiniti raggi che ovviamente hanno tutte la stessa lunghezza.

 

Una buona attività didattica da proporre ai bambini consiste nel prendere una puntina e legare ad essa un filo di una lunghezza fissata. All'altra estremità del filo, i bambini legheranno una matita, ottenendo un compasso rudimentale con cui costruire circonferenze perfette.

 

Oltre al centro ed al raggio, esistono diversi elementi della circonferenza e del cerchio. Il compito dei bambini consiste nel riconoscerli e impararne le definizioni.

 

La corda è un segmento che congiunge due punti della circonferenza. La corda che passa per il centro prende il nome di diametro. Quest'ultimo ha lunghezza doppia rispetto al raggio e quindi il raggio ha lunghezza pari alla metà del diametro.

 

\mbox{diametro}=\mbox{raggio\times 2}\qquad\mbox{raggio}=\mbox{diametro}:2

 

L'arco di una circonferenza è la parte di circonferenza compresa tra due punti detti estremi dell'arco. La semicirconferenza è un arco particolare i cui estremi appartengono al diametro.

 

La circonferenza divide il piano in due parti: una parte interna e una parte esterna. Si chiama cerchio la figura piana formata dai punti della circonferenza e da quelli interni alla circonferenza.

 

 

Elementi del cerchio

 

 

La parte di piano compresa tra una semicirconferenza e diametro si chiama semicerchio.

 

 

Semicirconferenza e semicerchio

 

 

Purtroppo moltissimi bambini confondono la circonferenza con il cerchio e viceversa, sebbene siano concetti completamente diversi. La circonferenza è il contorno, ed è formata dai punti che stanno sul bordo, il cerchio invece è l'insieme dei punti interni alla circonferenza, quest'ultima inclusa.

 

Misura della circonferenza e area del cerchio

 

La circonferenza è una curva chiusa e di essa è possibile calcolare la misura della lunghezza. Interviene però una costante matematica importantissima, che prende il nome di Pi Greco e che si indica col simbolo \pi, che i bambini possono approssimare con il numero 3.14.

 

Una buona attività didattica che permetta di vedere come e perché nasce il numero \pi consiste nel misurare la circonferenza dei coperchi di alcuni barattoli che hanno diametri diversi.

 

Con un filo si contorna il tappo, che coinciderà con la lunghezza della circonferenza. Si tagliano ora tre pezzi di filo aventi lunghezza pari al diametro e si adagiano l'uno a fianco all'altro come in figura.

 

 

Come si definisce il pi greco in geometria

 

 

Grazie a questa semplice attività didattica comprenderanno che la lunghezza della circonferenza è di poco più grande di tre volte il diametro. Scriviamo una tabella in cui inserire le misure della circonferenza e del diametro associato, e in un secondo momento calcolarne il quoziente:

 

 

\begin{array}{|c|c|c|}\hline\mbox{ Circonferenza  }(C)&\mbox{ Diametro }(d)&C:d\\ \cline{1-3}25.19\mbox{ cm} &8\mbox{ cm}&\simeq 3.14\\ \cline{1-3}28.3\mbox{ cm}&9\mbox{ cm}&\simeq 3.14\\ \cline{1-3}31.4\mbox{ cm}&10\mbox{ cm}&\simeq 3.14\\\cline{1-3}\end{array}

 

 

La tabella mette in evidenza che il quoziente tra la circonferenza e il diametro è sempre lo stesso numero, che prende il nome di Pi Greco e che vale circa 3.14, e per la definizione stessa di divisione

 

\mbox{Circonferenza}= 3.14\times\mbox{diametro}

 

e poiché il diametro è il doppio del raggio, la formula della circonferenza si può riscrivere come

 

\mbox{Circonferenza}= 6.28\times\mbox{raggio}

 

Per la formula dell'area del cerchio vale la formula

 

\mbox{Area}=\mbox{Circonferenza}\times \mbox{raggio}:2

 

La dimostrazione per mostrare l'effettiva validità della relazione è molto delicata e richiede attenzione. Proponiamo ai bambini la seguente immagine.

 

 

L'area del cerchio

 

 

Il cerchio è suddiviso in settori e tagliato lungo un raggio. Nell'immagine a fianco, i settori sono stati raddrizzati così da formare un triangolo che ha per base la circonferenza e per altezza il raggio del cerchio e per la formula dell'area del triangolo si ha che:

 

\mbox{Area}=\mbox{Circonferenza}\times\mbox{raggio}:2

 

Per gli alunni, la formula semplificata e comunemente utilizzata per il calcolo dell'area del cerchio è:

 

\mbox{Area}=3.14\times \mbox{raggio}\times \mbox{raggio}

 

dove, lo ribadiamo, perlomeno alla scuola primaria non è necessario indicare il valore esatto del Pi Greco, e ci si può limitare all'approssimazione 3,14.

 

 


 

Per questa guida, è tutto! Nella prossima lezione vedremo i solidi e accompagneremo gli alunni nel mondo della geometria tridimensionale.

 

 

Un saluto festoso a tutti

Salvatore Zungri

 

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