[Quinta elementare] Area dei poligoni

Il concetto di area di un poligono è ovviamente legato a quello di superficie. Oltre a introdurre il concetto di area, in questa guida presenteremo ai bambini le formule esplicite per il calcolo, attraverso delle dimostrazioni geometriche. La strategia scelta è certamente vincente perché non richiede sforzo mnemonico da parte degli studenti, a patto che comprendano a dovere le idee di base.

 

Nota: questa guida riguarda argomenti di quinta elementare, ed è rivolta a genitori, maestri e a chiunque sia appassionato di didattica della Scuola Primaria.

 

Nota 2: su YouMath è disponibile anche una lezione dedicata agli studenti delle scuole medie, potete consultarla qui: area delle figure piane.

 

Area di un poligono

 

I bambini sanno cos'è un poligono: la parte di piano limitata da una poligonale chiusa. Questa linea chiusa divide il piano in due parti una interna l'altra esterna.

 

 

Definizione di area di un poligono

 

 

L'area di un poligono rappresenta la misura della superficie interna. La misura della superficie avviene scegliendo un'opportuna superficie unitaria u, si conta in seguito quante volte la superficie di riferimento è contenuta nel poligono in questione.

 

Se ad esempio si prende come superficie unitaria il quadretto di un quaderno, il seguente rettangolo ha area 48 quadretti.

 

 

Area di un rettangolo

 

 

Per determinare il numero di quadratini è sufficiente moltiplicare tra loro il numero delle unità lineari della base del rettangolo, 8 nel disegno, e il numero di unità lineari dell'altezza, 6 nell'esempio proposto: implicitamente interviene la definizione stessa di moltiplicazione tramite i reticoli.

 

A questo punto, e a fronte dell'esempio considerato inizialmente, non è difficile rendersi conto che contare i quadretti può essere estremamente complicato quando i poligoni non sono rettangoli o quadrati.

 

 

Area di un triangolo con i quadratini

 

 

In questo triangolo quante superfici unitarie ci sono? Non tutti i quadretti sono interi, alcuni sono spezzati. La situazione può peggiorare se i bambini hanno a che fare con poligoni concavi:

 

 

Area di un poligono concavo

 

 

Nell'immagine è stato proposto un poligono per il quale è difficile calcolare l'area contando esplicitamente i quadretti. La strategia da proporre è la seguente: tagliarlo in più poligoni semplici, scomponendolo in due triangoli e un rettangolo, di cui è facile determinare l'area.

 

 

Area di un poligono concavo come somma di aree semplici

 

 

Deve essere chiaro sin da subito che ruotare o spostare una superficie non modifica la sua area.

 

 

Le rotazioni non modificano l'area

 

 

I due rettangoli hanno la stessa area, sia il primo che il secondo rettangolo contengono 28 unità u. Gli esempi precedenti mettono in chiaro che scomporre e ricomporre poligoni, o semplicemente ruotarli, non modifica il valore dell'area.

 

I bambini inizieranno a prendere confidenza con un concetto non propriamente elementare: l'equivalenza tra poligoni: due poligoni sono equivalenti o equiestesi se hanno la stessa estensione. E se hanno la stessa estensione, allora essi hanno necessariamente la stessa area.

 

Dopo questa introduzione fondamentale, è giunto il momento di fornire agli alunni gli strumenti necessari per calcolare le aree.

 

Formule per le aree dei poligoni

 

Dal punto di vista didattico il poligono da cui partire nella proposizione delle formule per l'area è certamente il rettangolo, perché l'area del rettangolo permette di determinare le aree degli altri poligoni.

 

L'area di un rettangolo è data dal prodotto della moltiplicazione tra la lunghezza della base e la lunghezza dell'altezza.

 

 

Misura dell'estensione di un rettangolo

 

A=\mbox{Base}\times\mbox{Altezza}

 

 

Il quadrato è un rettangolo particolare, ha la base e l'altezza congruenti, e per l'occasione si chiamano entrambi lati. L'area di un quadrato è lato per lato.

 

 

Come si calcola l'area di un quadrato

 

A=\mbox{Lato}\times\mbox{Lato}

 

Come dicevamo in precedenza, tutte le formule delle aree dei poligoni fondamentali derivano da quella del rettangolo. Possiamo convincere i bambini di questa verità matematica proponendo loro dei disegni.

 

Attenzione: un alunno può facilmente disorientarsi di fronte a tutte le informazioni proposte, cionondimeno è essenziale che non si demoralizzi. Se i bambini riusciranno a comprendere quali sono le idee fondamentali, i vantaggi (non immediati) saranno grandissimi.

 

Per rompere il ghiaccio sulla faccenda utilizzeremo il triangolo, proponendo la seguente figura:

 

 

Come si determina la misura della superficie di un triangolo

 

 

Il triangolo in rosso coincide esattamente con la metà del rettangolo che ha la stessa base del triangolo e la stessa altezza. Proprio per questo motivo l'area del triangolo coincide con la metà di quella del rettangolo, pertanto sussiste la formula

 

A=(\mbox{Base}\times \mbox{Altezza}):2

 

 

Proseguiamo con l'area del parallelogramma, proponendo subito l'enunciato: un parallelogramma e un rettangolo che condividono la base e l'altezza hanno la stessa area. Ancora una volta affidiamoci ai disegni per convincere i bambini della veridicità della precedente affermazione.

 

 

Area del parallelogramma

 

 

Come mostrato in figura, si taglia lungo l'altezza del parallelogramma così da ottenere un triangolo, e spostandolo dall'altra parte si ottiene un rettangolo che ha la stessa base e la stessa altezza del parallelogramma. La misura della superficie delle due figure non è affatto cambiata, di conseguenza la formula per l'area del parallelogramma è:

 

A=\mbox{Base}\times \mbox{Altezza}

 

 

Il prossimo poligono di cui i bambini si occuperanno è il rombo. L'obiettivo è sempre quello di determinare formula dell'area legandola in qualche modo a quella del rettangolo. Osservando la seguente immagine

 

 

Come si trova l'area del rombo

 

 

è chiaro che un rombo è equivalente a metà del rettangolo che ha per base e altezza le diagonali del rombo. Di conseguenza l'area del rombo è data da:

 

A=(\mbox{Diagonale maggiore}\times\mbox{diagonale minore}):2

 

 

A questo punto è il momento di occuparsi del trapezio, in questo caso però non ci serviremo di alcun rettangolo. Un trapezio è equivalente ad un triangolo che ha per altezza l'altezza del trapezio, e per base la somma tra la base minore e la base maggiore. È sufficiente che i bambini guardino la figura per convincersene

 

 

Area del trapezio

 

 

In questo caso il taglio avviene dal punto medio del lato obliquo proseguendo fino al vertice della base minore. Posizionando il triangolo tagliato come in figura si genera un altro triangolo che ha per base la somma tra la base maggiore e la base minore, e per altezza la stessa altezza del trapezio.

 

L'area del trapezio sarà dunque:

 

A=(\mbox{Base maggiore}+\mbox{base minore})\times\mbox{Altezza}:2

 

Area dei poligoni regolari

 

I poligoni regolari richiedono un discorso a parte. Un poligono regolare si può scomporre in tanti triangoli equivalenti quanti sono i lati. I triangoli hanno tutti la stessa altezza che prende il nome di apotema.

 

 

Come si trova l'area di un poligono regolare

 

 

Dall'immagine i bambini possono estrapolare un'informazione importante: l'area colorata in verde è la metà dell'area del parallelogramma che ha per base il perimetro del poligono regolare e per altezza l'apotema. L'area di un poligono regolare è dato quindi dalla formula:

 

A=(\mbox{Perimetro}\times\mbox{Apotema}):2

 

 


 

Prima di salutarvi, sottolineiamo un aspetto importante relativo all'area dei poligoni e delle figure piane. Al livello di istruzione della scuola primaria non sono molto importanti le formule, che è comunque bene sapere. È piuttosto fondamentale che i bambini imparino a scomporre e ricomporre le figure geometriche in modo che esse abbiano la stessa area. Se riusciranno a comprendere le idee fondamentali, le formule arriveranno autonomamente, senza scomodare la memoria.

 

 

Buona Matematica a tutti

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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