[Quinta elementare] Proposizioni logiche e connettivi

Stranamente le proposizioni logiche e i connettivi logici non hanno di norma l'attenzione che meriterebbero nella Scuola Primaria. In effetti si tratta di argomenti difficili da assimilare per gli alunni, perché richiedono una certa maturità linguistica e logica che ancora non hanno acquisito a dovere. Nessuno però ci impedisce di proporre alcune considerazioni introduttive... ;)

 

Nota: questa guida riguarda argomenti di quinta elementare, ed è rivolta a genitori, maestri e a chiunque sia appassionato di didattica della Scuola Primaria.

 

Cosa sono le proposizioni logiche

 

Lo studio delle proposizioni logiche permette di ridimensionare l'analfabetismo funzionale, ossia l'incapacità dei bambini di comprendere e interpretare in modo corretto un testo, matematico o letterario che sia. Ecco perché viene introdotto già nella Scuola Primaria, seppur in una forma semplificata.

 

Il linguaggio è caratterizzato dall'utilizzo di enunciati, per ciascuno dei quali è possibile stabilire un valore di verità: vero o falso. Il valore di verità è caratterizzato a sua volta dall'oggettività, ossia deve essere verificabile da tutti e non deve dipendere dai gusti personali.

 

Una proposizione logica è un enunciato (o frase) che può essere vero oppure falso.

 

Le frasi

 

- Sette per otto fa quaranta.

 

- Il successivo di 5 è 6.

 

- Il triangolo ha 4 lati

 

sono esempi di enunciati per i quali è possibile stabilire senza ombra di dubbio un valore di verità. La prima frase è falsa, e gli alunni non avranno alcun problema nel constatarlo, infatti conoscono la tabellina del 7 e sanno bene che 7 per 8 non fa quaranta. La seconda frase è invece vera, mentre la terza è falsa perché ovviamente un triangolo ha tre lati.

 

È importante far notare ai bambini che non tutte le frasi sono proposizioni logiche:

 

- Giallo è il colore più bello.

 

- Francesca è simpatica;

 

- Che cosa fai domani? 

 

Questi sono esempi di frasi che non sono proposizioni logiche. Il giallo è un colore che può piacere, ma non a tutti. Francesca può stare simpatica a qualcuno, mentre a qualcun altro può risultare antipatica. L'ultima frase infine non è una proposizione logica perché non ha senso dire se è vera o falsa.

 

Forniamo quindi ai bambini un piccolo schema per riassumere quali frasi non sono proposizioni logiche:

 

- le domande e le esclamazioni: "Che cosa fai domani?", "Hai una penna da darmi?", "Viva l'Italia!"

 

- gli ordini: "Vai a destra!", "Fai i compiti!", "Non guardare la tv!"

 

- le frasi che esprimono un giudizio personale o un'opinione: "Il disegno di Marco è bello", "La torta della nonna è buonissima", "Il verde è un brutto colore". Queste frasi sono vere per chi le afferma, ma non per tutti gli altri.

 

- le frasi che si riferiscono a eventi futuri: "Tra tre giorni pioverà". In questo caso, non è possibile dire a priori se ciò che si afferma è vero oppure no.

 

- le frasi che non hanno senso compiuto.

 

In questa prima fase, è importante che i bambini riescano a riconoscere una proposizione logica dalle semplici frasi, ed è chiaro già dagli esempi che è un compito tutt'altro che banale. Sarà opportuno quindi proporre loro numerosi esempi. Solo in un secondo momento potremo passare a parlare dei connettivi logici.

 

I connettivi logici

 

Le proposizioni possono essere legate tra loro con le parole: e, o e non, che prendono il nome di connettivi logici.

 

Ad esempio

 

• La Lombardia confina con il Veneto e il capoluogo di regione è Milano.

 

Qui la congiunzione e permette di connettere la proposizione "La Lombardia confina con il Veneto" con la proposizione "il capoluogo di regione è Milano".

 

• 5 è maggiore di 4 o 5 minore di 7.

 

La congiunzione o connette la proposizione "5 è maggiore di 4" con la proposizione "5 minore di 7".

 

• Roma non è la capitale dell'Italia.

 

In questo caso l'avverbio non serve a ribaltare il valore di verità della proposizione "Roma è la capitale d'Italia".

 

 

Ogni connettivo possiede una propria tavola di verità: una tabella in cui sono inseriti i valori di verità delle proposizioni. I valori di verità di una proposizione sono vero, indicato con la lettera V, e falso, indicato con la lettera F.


Il connettivo logico e

 

Il connettivo logico e permette di costruire proposizioni formate da due o più proposizioni logiche (le cosiddette proposizioni composte), congiungendo le singole proposizioni.

 

Ad esempio:

 

10 è un multiplo di 2 e 12 è un numero divisibile per 4;

Il monte Bianco è sulle Alpi ed è il monte più alto d'Italia;

La Terra è un pianeta e gira intorno al Sole.

 

Vediamo come scrivere la tabella di verità del connettivo e con un esempio. Partendo da questa immagine di Lester

 

 

Proposizioni logiche

 

 

i bambini dovranno rispondere alle domande e compilare una piccola tabella.

 

"Lester ha un cappellino rosso e indossa una sciarpa blu"

 

Vero o falso? È falso, perché la sciarpa è blu.

 

"Lester ha un cappellino giallo e indossa una sciarpa verde"

 

Vero o falso? È falso, perché il cappellino non è giallo.


"Lester ha un cappellino rosso e indossa una sciarpa verde"

 

Vero o falso? È vero! Ha un cappello rosso e una sciarpa di colore verde.

 

"Lester ha un cappellino blu e indossa una sciarpa gialla"

 

Vero o falso? È falso! Il cappellino non è blu e la sciarpa non è gialla.

 

La tavola di verità del connettivo e ci permettono di riassumere tutti i valori di verità delle precedenti proposizioni composte in un'unica tabella:

 

 

Tavola di verità del connettivo logico e

 

 

Dall'esempio appena visto, è facile evincere che la congiunzione di due proposizioni logiche tramite il connettivo e è vera se e solo se entrambe le proposizioni logiche sono vere

 

Il connettivo o

 

Il connettivo logico o, così come il connettivo e, permette di costruire una proposizione composta partendo da due proposizioni elementari.

 

Vediamo qualche esempio:

 

Parigi è la capitale della Francia o è la capitale dell'Austria.

10 è un numero primo o è un numero pari.

7 è minore di 2 oppure è maggiore di 5.

 

Introdotto il nuovo connettivo, mostreremo agli alunni come formulare la relativa tabella di verità. In riferimento alla figura di Lester proposta poco sopra, i bambini dovranno individuare il valore di verità delle seguenti proposizioni composte.

 

"Lester ha un cappellino rosso oppure indossa una sciarpa blu"

 

Vero o falso? È vero, perché ha un cappellino rosso.

 

"Lester ha un cappellino giallo oppure indossa una sciarpa verde"

 

Vero o falso? È vero, Lester indossa una sciarpa verde.

 

"Lester ha un cappellino rosso oppure indossa una sciarpa verde"

 

È vero o falso? È vero, ha un cappello rosso e una sciarpa di colore verde.

 

"Lester ha un cappellino blu sulla testa oppure indossa una sciarpa gialla"

 

Vero o falso? È falso! Lester non indossa né una sciarpa gialla né un cappellino blu.

 

La tavola di verità associata al connettivo o sarà la seguente:

 

 

Tabella di verità per il connettivo o

 

 

Osservandola con attenzione, i bambini comprenderanno che una proposizione composta da due proposizioni con il connettivo logico o è falsa solo se entrambe le proposizioni sono false. In tutti gli altri casi la proposizione composta è vera.

 

Negazione

 

La negazione, individuata mediante l'avverbio non, agisce su una proposizione logica ed ha l'effetto di trasformare le proposizioni vere in proposizioni false, e quelle false in proposizioni vere.

 

Ad esempio:

 

- "La Terra è piatta" è una proposizione falsa, e per negazione si tramuta in una proposizione vera: "La Terra non è piatta".

 

- "7 è un numero primo" è una proposizione vera, la cui negazione è "7 non è un numero primo", che è una proposizione falsa.

 

 


 

Con questo è tutto. Naturalmente quella che abbiamo proposto è un'infarinatura di base (nel contesto della scuola primaria non ci si può spingere oltre) anche se sottolineiamo che le proposizioni ed i connettivi logici verranno riprese più e più volte nel corso degli studi successivi. Per il momento le nozioni proposte sono più che sufficienti e dovranno essere supportate da ulteriori esempi ed eventualmente esercizi, in modo che gli alunni possano consolidare il loro primissimo approccio con la Logica. :)

 

 

Buona Matematica a tutti

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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