[Quinta elementare] Elevamento a potenza

L'elevamento a potenza sarà l'argomento principe di questa nuova guida didattica. In realtà ci occuperemo solo di un caso particolare, nella Scuola Primaria infatti si affrontano esclusivamente le potenze che hanno sia per base che per esponente numeri naturali. Oltre a vedere cosa sono le potenze e a cosa servono, vedremo quali sono le strategie didattiche adatte a spiegare ai bambini le potenze del 10 e come esprimere un numero in forma polinomiale.

 

Nota: questa guida riguarda argomenti di quinta elementare, ed è rivolta a genitori, maestri e a chiunque sia appassionato di didattica della Scuola Primaria.

 

Nota 2: su YouMath è disponibile una lezioni dedicata agli studenti delle scuole medie. Potete consultarle qui: potenze.

 

Cos'è un elevamento a potenza?

 

Un modo per spiegare l'operazione di elevamento a potenza consiste nel partire con un'analogia. I bambini conoscono la moltiplicazione come addizione ripetuta: si usa il simbolo × per indicare più addizioni con gli stessi addendi.

 

Giusto per fare un ripasso:

 

2 x 3 = 2 + 2 + 2

 

La moltiplicazione tra numeri naturali è un modo diverso per esprimere più addizioni. Dall'esempio non è chiaro il vantaggio di scrivere 2×3 al posto di 2+2+2, ma se ad esempio i fattori fossero 12 e 10, le cose sarebbero molto diverse:

 

12 x 10 = 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12

 

Che fatica! 12×10 è molto più comodo da scrivere.

 

E se invece delle addizioni ci fossero delle moltiplicazioni in cui i fattori sono tutti uguali?

 

3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3

 

Esiste un'operazione per esprimere questi particolari prodotti? La risposta è sì, e tale operazione prende il nome di elevamento a potenza (o più semplicemente potenza di un numero)

 

3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 37

 

37 è un esempio di potenza che esprime il prodotto di 7 fattori uguali a 3.

 

L'elevamento a potenza fornisce un modo diverso per scrivede un prodotto con i fattori uguali, e per farlo sono sufficienti due elementi:

 

- una base, che indica il fattore che si ripete;

 

- un esponente, che indica invece quante volte si ripete la base.

 

 

Elevamento a potenza

 

 

Esempi di elevamento a potenza

 

25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32. La base è 2, l'esponente è 5.

 

53 = 5 x 5 x 5 = 125. La base è 5, l'esponente è 3.

 

101 = 10. La base è 10, l'esponente è 1.

 

Come leggere un elevamento a potenza

 

Attenzione: non commettiamo l'errore di sottovalutare le difficoltà che si insinuano nell'apprendimento di una nuova operazione! Non basta fornire esempi e definizioni, bisogna anche insegnare agli alunni come si leggono le potenze!

 

Esistono sostanzialmente due modi per leggere una potenza:

 

1) il primo consiste nell'usare il costrutto "base elevato a esponente".

 

35: la base è 3, l'esponente è 5, dunque si legge tre elevato a cinque.

 

53: la base è 5, l'esponente è 3, dunque si legge cinque elevato a tre.

 

90: la base è 9, l'esponente è 0 dunque si legge nove elevato a zero.

 

2) Il secondo metodo consiste invece nell'usare il costrutto "base alla esponente" con l'esponente letto come se fosse un numero ordinale;

 

35: si legge tre alla quinta.

 

53: si legge cinque alla terza.

 

92: si legge nove alla seconda.

 

Nei casi particolari di esponente uguale a 0 o 1 è preferibile utilizzare il primo costrutto.

 

Potenze con base 0, potenze con esponente 1

 

Ci sono due potenze speciali che i bambini devono tenere a mente:

 

1) Una potenza con esponente zero è uguale ad uno purché la base sia diversa da zero.

 

50=1 ; 60=1 ; 10000=1

 

Il caso particolare 00, per definizione, non ha alcun significato.

 

2) Una potenza con esponente 1 coincide con la base.

 

41=4 ; 101=10 ; 31=3 ; 1100=1 ; 10=1 ; 12=1

 

Quest'ultimo caso particolare non va confuso con le potenze con base 1, le quali valgono sempre 1 indipendentemente dal numero che si trova all'esponente.

 

A cosa servono gli elevamenti a potenza

 

I bambini potrebbero pensare che le potenze non abbiano alcuna utilità pratica ed è per questo che una volta introdotte, è opportuno presentare almeno un esempio concreto in cui interviene l'operazione di elevamento a potenza.

 

Su 3 mensole sono appoggiati 3 vasi, ognuno dei quali contiene tre fiori. Quanti sono i fiori in tutto? 

 

 

Esempio concreto in cui si utilizzano le potenze

 

 

La risposta è 3×3×3=27, ossia un prodotto con tutti i fattori uguali a 3 e che grazie alle potenze si scrive anche 33.

 

Segnaliamo un errore comune che commettono gli alunni, spesso e volentieri tendono a scambiare l'esponente con la base. Per prevenire eventuali fraintendimenti converrà sin da subito mettere in chiaro il possibile errore proponendo un esempio: 23 è diverso da 32, infatti

 

23=2x2x2=8

 

mentre

 

32=3x3=9

 

L'esempio mette in chiaro che l'elevamento a potenza non gode della proprietà commutativa: cambiando tra loro la base e l'esponente il risultato cambia eccome!

 

Potenze del 10

 

Le potenze che hanno per base il numero 10, dette anche potenze del 10, sono molto importanti perché permettono di semplificare la scrittura dei grandi numeri e di esprimere i numeri in forma polinomiale. Può essere utile partire direttamente dalla seguente tabella

 

 

Numero in lettere Numero in cifre Forma esponenziale
Uno 1 100
Dieci 10 101
Cento 100 102
Mille 1.000 103
Diecimila 10.000 104
Centomila 100.000 105
Un milione 1.000.000 106
Dieci milioni 10.000.000 107
Cento milioni 100.000.000 108
Un miliardo 1.000.000.000 109
Dieci miliardi 10.000.000.000 1010
Cento miliardi 100.000.000.000 1011

 

 

I bambini più attenti noteranno da soli che l'esponente della potenza del 10 coincide con il numero di zeri.

 

Ad esempio, sulla Terra ci sono circa 7.000.000.000 di persone. Il numero sette miliardi può essere scritto come:

 

7.000.000.000 = 7 x 1000.000.000 = 7 x 109

 

Forma polinomiale di un numero

 

Le potenze del 10 servono anche a scrivere un numero in forma polinomiale. Questa attività ha lo scopo, almeno nella scuola primaria, di rivedere i numeri con la virgola sotto un'altra luce. In realtà non vi è nulla di nuovo, dopotutto i bambini sanno cosa sono una unità, una decina, un centinaio e così via.

 

La novità risiede nel fatto che al posto delle marche

 

u, da, k, uk, dak, hk, uM, daM, hM, uG, daG, hG

 

ci saranno le potenze del 10.

 

Sarà d'aiuto un esempio guida: consideriamo il numero 12.153 e proponiamoci di scriverlo in forma polinomiale:

 

- si decompone il numero evidenziando le marche

 

12.153 = 1 dak + 2 uk + 1 h + 5 da + 3 u

 

- al posto dei simboli dak, uk, h, da, u si inseriscono le potenze del dieci precedute dal simbolo di moltiplicazione

 

12.153 = 1 x 10^4 + 2 x 10^3 + 1 x 10^2 + 5 x 10 + 3

 

Se i bambini hanno qualche difficoltà possono utilizzare la tabella delle classi.

 

 

Forma polinomiale di un numero naturale

 

 

Naturalmente nessuno impedisce di decomporre il numero come:

 

12.153 = 1 x 10.000 + 2 x 1000 + 1 x 100 + 5 x 10 + 3

 

e in un secondo momento scrivere le potenze del dieci.

 

12.153 = 1 x 104 + 2 x 103 + 1 x 102 + 5 x 101 + 3

 

e con questo è tutto! :)

 

 

Alla prossima!

Salvatore Zungri

 

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