Divisioni con la virgola

Le divisioni con la virgola, o per meglio dire le divisioni con i numeri decimali, rappresentano una vera e propria sfida didattica, forse la più ardua che si possa affrontare nell'arco dei cinque anni della Scuola Primaria. Non a caso la divisione è l'operazione che mette a disagio un po' tutti, grandi e piccini... ma perché è così difficile?

 

Nota: questa guida riguarda argomenti di quarta elementare, ed è rivolta a genitori, maestri e a chiunque sia appassionato di didattica della Scuola Primaria.

 

Nota 2: su YouMath è disponibile anche una lezione dedicata agli studenti delle scuole medie. Potete consultarla qui: operazioni con i numeri decimali.

 

Come calcolare le divisioni con la virgola

 

Per rispondere alla domanda posta nell'introduzione, le difficoltà sono molte perché la divisione tra numeri con la virgola richiede diversi prerequisiti:

 

- conoscere benissimo le tabelline;

 

- saper eseguire la divisione in colonna tra interi (o numeri senza virgola);

 

- saper eseguire correttamente le sottrazioni in colonna.

 

Inoltre, in una divisione con la virgola può succedere che il dividendo, o il divisore, o entrambi siano numeri con la virgola, e per ciascun caso esiste una strategia di calcolo.

 

Solitamente si parte con la divisione in cui il dividendo è un numero decimale mentre il divisore è un numero intero perché considerata più semplice.

 

Divisioni con la virgola al dividendo

 

Se nella divisione il dividendo è un numero decimale, mentre il divisore è un numero senza virgola, si esegue normalmente la divisione tra la parte intera del dividendo per il divisore, determinando così la parte intera del quoziente.

 

Quando si abbassa la prima cifra decimale, si inserisce la virgola nel quoziente, dopodiché si continua la divisione fino a che non finiscono le cifre decimali.

 

Le parole da sole non sono sufficienti a spiegare il procedimento ai bambini, quindi accompagniamole con un esempio-guida.

 

 

Esempio: calcoliamo la divisione con la virgola

 

15,5:3

 

Incolonniamo gli operandi della divisione

 

\begin{array}{ccc|c}1&5,&5&3\\ \cline{4-4}\end{array}

 

Si esegue normalmente la divisione, abbassando quindi due cifre del dividendo. Nell'esempio il tre sta cinque volte nel quindici e rappresenta il primo quoziente parziale.

 

Si moltiplica il quoziente parziale per il divisore e si riporta il prodotto sotto le cifre abbassate. Si tira una linea di separazione e si esegue la sottrazione:

 

\begin{array}{cc|c}\color{red}\widehat{15},&5&3\\ \cline{3-3}15\,&&\color{blue}5\\ \cline{1-1}=\end{array}

 

Le cifre della parte intera sono finite, è il momento della virgola. Bisogna inserirne una anche nel quoziente parziale; guai a dimenticare questo passaggio, il risultato sarebbe errato.

 

\begin{array}{cc|c}\color{red}\widehat{15},&5&3\\ \cline{3-3}15\,&&\color{blue}5,\\ \cline{1-1}=\end{array}

 

Si abbassa a questo punto la prima cifra decimale, affianchiandola al primo resto parziale. Si continua eseguendo normalmente la divisione tra il resto parziale e il divisore

 

\begin{array}{cc|c}\color{red}\widehat{15},&\color{red}\widehat{5}&3\\ \cline{3-3}15\,&&\color{blue}5,\\ \cline{1-1}=&5\end{array}

 

Il tre sta nel cinque una volta, si affianca quindi l'uno al quoziente parziale. Si moltiplica per il dividendo e si trascrive il prodotto sotto il resto parziale, ossia 5. Si conclude il tutto eseguendo la sottrazione 5 - 3 = 2.

 

\begin{array}{cc|c}\color{red}\widehat{15},&\color{red}\widehat{5}&3\\ \cline{3-3}15\,&&\color{blue}5,1\\ \cline{1-1}=&5\\&3\\ \cline{2-2}&2\end{array}

 

Il risultato dovrà essere riportato come al solito:

 

15,5:3=5 \mbox{ r } 0,2.

 

 

Nell'esempio proposto ci siamo fermati alla prima cifra decimale, ossia ai decimi, ma è bene che i bambini sappiano che la divisione può proseguire. È sufficiente aggiungere zeri al dividendo e procedere come visto in precedenza. Se volessimo fermarci ai millesimi, ad esempio, dovremmo aggiungere un numero di zeri sufficiente affinché la parte decimale del dividendo abbia esattamente tre cifre.

 

Nell'esempio bastano due zeri.

 

\begin{array}{cccc|c}\color{red}\widehat{15},&\color{red}\widehat{5}&\color{red}\widehat{0}&\color{red}\widehat{0}&3\\ \cline{5-5}15\,& & & &\color{blue}5,166\\ \cline{1-1}=&5& & \\&3& & \\ \cline{2-2}&2&0& \\&1&8& \\ \cline{2-3}&=&2&0\\&&1&8\\\cline{3-4}&&&2\end{array}

 

In questo caso il risultato sarà

 

15,5:3=5,166\mbox{ r }0,002

 

Con un po' di esercizio, il calcolo diverrà automatico. Ora tocca alla prossima tipologia.

 

Divisioni con la virgola al divisore

 

Nel caso in cui solo il divisore sia un numero decimale, allora il primo passo consiste nell'eliminare la virgola.

 

Per farlo si aggiungono tanti zeri quante sono le cifre decimali presenti nel divisore. Così facendo si ottiene una divisione tra numeri senza la virgola, con cui i bambini hanno giò acquisito dimestichezza.

 

Anche per questa tipologia presentiamo un esempio-guida.

 

 

Esempio: calcolare la divisione in colonna

 

7:1,4

 

Il divisore ha una cifra decimale, quindi si elimina la virgola e si aggiunge uno zero al dividendo così da ottenere 70:14, e si procede come di consueto.

 

 \begin{array}{c|c}\widehat{70}&14\\ \cline{2-2}70&5\\ \cline{1-1}= \end{array}

 

Nell'esempio proposto si è eseguita la divisione tra numeri senza la virgola, il cui procedimento dovrebbe essere noto (i bambini imparano le divisioni in colonna già in terza elementare).

 

Divisioni con la virgola al dividendo e al divisore

 

Se sia il dividendo che il divisore hanno la virgola, allora bisogna per prima cosa eliminare la virgola dal divisore e allo stesso tempo spostare la virgola del dividendo di tante posizione a destra quante sono le cifre decimali del divisore.

 

Attenzione, se il dividendo ha meno cifre decimali del divisore sarà necessario mettere degli zeri segnaposto.

 

Proponiamo ai bambini un esempio-guida anche per questa tipologia.

 

 

Esempio: eseguire la divisione in colonna

 

1,83 : 0,3

 

Il divisore ha una sola cifra decimale, di conseguenza la virgola del dividendo va spostata verso destra di un solo posto. La divisione da risolvere diventa quindi

 

18,3:3

 

È fondamentale che i bambini comprendano che in questo caso hanno a che fare con una divisione con la virgola al dividendo, pertanto possono utilizzare il procedimento visto in precedenza.

 

\begin{array}{cr|r}\widehat{18},&\widehat{3}&3\\ \cline{3-3}18& &6,1\\ \cline{1-1}==&3\\&3\\\cline{2-2}&= \end{array}

 

Il risultato sarà

 

18,3 : 3 = 6,1\mbox{ r }0

 

 

Questa tipologia è la più difficile dal punto di vista operativo, ecco perché proporre un ulteriore esempio non guasta affatto.

 

 

Esempio: vediamo come calcolare la divisione

 

1,55 : 0,005

 

Poiché il divisore ha tre cifre decimali, la virgola del dividendo si sposta di tre posti verso destra. Attenzione: il dividendo ha solo due cifre decimali, è necessario dunque aggiungere uno zero.

 

La divisione da risolvere diventa

 

1550:5

 

che è praticamente una divisione tra numeri senza virgola.

 

\begin{array}{c|c}\widehat{15}\widehat{5}\widehat{0}&5\\ \cline{2-2}15\,\,\,\,\,&310\\ \cline{1-1}=5\,\,\\\,\,\,\, 5\\ \cline{1-1}\,\,\,\,\,=0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, 0 \\ \cline{1-1}\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\end{array}

 

Considerazioni sulle divisioni con la virgola

 

Come abbiamo visto nelle righe precedenti, il primo passaggio del metodo di calcolo delle divisioni con la virgola prevede di riconoscere la tipologia di divisione che si ha di fronte, e di conseguenza applicare il procedimento più appropriato.

 

Nota importante: quando il divisore è un numero decimale la virgola deve essere eliminata. Per riuscirci i bambini utilizzano implicitamente la proprietà invariantiva della divisione.

 

 

Ecco un esempio:

 

10,2: 0,21

 

Il divisore ha due cifre decimali, per togliere la virgola esso verrà moltiplicato per 100, ma attenzione: per non cambiare il risultato deve intervenire la proprietà invariantiva, di conseguenza anche il dividendo deve essere moltiplicato per 100.

 

(10,2\times 100):(0,21\times 100)

 

e sfruttando le regole di moltiplicazione per 10, 100 e 1000 si arriva a

 

1020 : 21

 

Per i primi tempi sarà opportuno evidenziare questi passaggi mentre si assistono gli alunni nella risoluzione degli esercizi, che comunque diventeranno naturali col passare del tempo.

 

 

Buona Matematica a tutti

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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