[Quarta elementare] Come confrontare due frazioni

Il confronto tra due frazioni può essere un argomento abbastanza delicato da affrontare per i bambini perché richiede molte conoscenze pregresse. Per evitare che possano insorgere difficoltà è fondamentale che questo tema venga trattato con le tempistiche giuste, osservando attentamente le reazioni dei bambini.

 

Nota: questa guida riguarda argomenti di quarta elementare, ed è rivolta a genitori, maetri e a chiunque sia appassionato di didattica della Scuola Primaria.

 

Nota 2: su YouMath è disponibile anche una lezione dedicata agli studenti delle scuole medie. Potete consultarla qui: confronto tra frazioni.

 

Data l'importanza e la delicatezza dell'argomento, lo presenteremo distinguendo i vari casi.

 

Come confrontare due frazioni

 

Partiremo con il confronto tra frazioni con lo stesso denominatore, in seguito vedremo come confrontare due frazioni con lo stesso numeratore e infine mostreremo come comportarsi nel caso generale.

 

Come confrontare due frazioni con lo stesso denominatore

 

I bambini conoscono già la definizione di frazione e sanno anche come rappresentare le frazioni con le quantità continue. Iniziare con i disegni può essere una scelta vincente, purché si tratti un problema semplice, come il seguente

 

Lester e Ester passeggiano lungo un sentiero del bosco. Decidono di fare una gara a chi arriva prima. Dopo qualche minuto Lester ha percorso i \frac{3}{4} del sentiero mentre Ester ha percorso i \frac{2}{4}. Chi ha fatto più strada?

 

Rappresentiamo la strada percorsa da Lester con un disegno

 

 

Esempio sul confronto di due frazioni - 1

 

 

e facciamo lo stesso con la strada percorsa da Ester

 

 

Esempio sul confronto tra frazioni - 2

 

 

Ora alcune domande, in modo da attirare l'attenzione degli alunni e renderli protagonisti della lezione:

 

- I denominatori delle frazioni sono uguali?

 

La risposta è sì, i denominatori delle frazioni in gioco sono uguali a 4.

 

- I numeratori sono uguali?

 

No, i numeratori non sono uguali: il numeratore della prima frazione, 3, è maggiore del numeratore della seconda, 2.

 

- Chi ha coperto un percorso maggiore?

 

La risposta è Lester, cui è associata la frazione \frac{3}{4}. Ester invece ha percorso una distanza più piccola.

 

I bambini comprenderanno che la frazione associata a Lester è maggiore di quella associata a Ester.

 

\frac{3}{4}\ \textgreater\ \frac{2}{4}

 

Tre quarti è maggiore di due quarti, o simmetricamente, due quarti è minore di tre quarti.

 

Le rappresentazioni grafiche delle due frazioni suggeriscono qual è la più grande e quale la più piccola, per capirlo è sufficiente confrontare le parti che esse indicano. 

 

 


Frazioni da confrontare
 
Rappresentazione
\frac{2}{5}\mbox{ e }\frac{3}{5}
Rappresentazione di un confronto tra frazioni
\frac{6}{8}\mbox{ e }\frac{3}{8}
Confronto tra due frazioni con i cerchi
\frac{10}{20}\mbox{ e }\frac{12}{20}
Come si confrontano due frazioni con le figure piane

 

 

Dagli esempi proposti, i bambini possono estrapolare autonomamente la regola matematica: se due frazioni hanno lo stesso denominatore allora è più grande la frazione che ha il numeratore più grande.

 

 

Esempi sul confronto di due frazioni con lo stesso denominatore

 

\frac{104}{105}\,\textless\, \frac{106}{105}

 

Il denominatore è lo stesso, il numeratore della prima frazione è più piccolo di quello della seconda.

 

\frac{53}{90}\,\textgreater\,\frac{51}{90}

 

Anche in questo caso il denominatore è lo stesso, ma il numeratore della prima frazione è maggiore di quello della seconda.

 

\frac{109}{403}\,\textless\,\frac{110}{403}

 

La prima frazione è più piccola della seconda perché i denominatori sono uguali, mentre il numeratore della prima è più piccolo di quello della seconda.

 

Come confrontare le frazioni con lo stesso numeratore

 

Ora passiamo ad occuparci del confronto tra due frazioni con lo stesso numeratore. Anche in questo caso iniziare con le rappresentazioni è una scelta didattica vincente. Proponiamo il seguente problema:

 

Ci sono due torte identiche, una viene divisa in 4 fette uguali, l'altra invece verrà divisa in 8 fette. Sia della prima che della seconda torta mangeremo 3 fette.

 

 

Confronto tra due frazioni con lo stesso numeratore

 

 

Qual è la parte di torta maggiore?

 

I tre quarti della prima torta sono maggiori dei tre ottavi della seconda, proprio per questo motivo:

 

\frac{3}{4}\,\textgreater \,\frac{3}{8}

 

Dall'esempio, è chiaro che se due frazioni hanno lo stesso numeratore, è maggiore la frazione con il denominatore più piccolo. Questa regola permette di evitare la rappresentazione grafica delle frazioni e velocizzarne quindi il confronto.

 

 

Esempi su come confrontare due frazioni con lo stesso numeratore

 

\frac{9}{4}\,\textless \frac{9}{2}

 

La prima frazione è minore della seconda, perché i numeratori delle due frazioni sono gli stessi, mentre il denominatore della prima è più grande del denominatore della seconda.

 

\frac{101}{99}\,\textgreater\,\frac{101}{100}

 

Il numeratore della prima coincide con il numeratore della seconda. Poiché il denominatore della prima frazione è minore di quello della seconda, allora la prima frazione è più grande della seconda.

 

\frac{1}{2}\,\textgreater\, \frac{1}{3}

 

I numeratori sono entrambi 1, ma il primo denominatore è minore del secondo, di conseguenza la prima frazione è maggiore della seconda.

 

Regola generale per confrontare due frazioni

 

Per concludere trattiamo il caso generale. Le regole viste in precedenza non sono utili se le due frazioni da confrontare non hanno lo stesso numeratore o lo stesso denominatore; cionondimeno, gli alunni possono ancora fare affidamento alle rappresentazioni per effettuare il confronto tra frazioni nel caso generale.

 

Ad esempio, per confrontare \frac{4}{6}\mbox{ e }\frac{3}{4}, procederanno nel modo seguente:

 

 

Confronto tra due frazioni con i disegni

 

 

- si divide il primo rettangolo in 6 parti uguali, e se ne prendono 4.

 

- si divide il secondo rettangolo in 4 parti uguali, e di esse se ne prendono preso 3.

 

La parte colorata del primo rettangolo è più piccola di quella del secondo rettangolo, di conseguenza:

 

\frac{4}{6}\,\, \textless \frac{3}{4}

 

Alla lunga, è meglio fare a meno delle immagini e ricordare piuttosto una semplice regola. Date due frazioni

 

- si calcola il prodotto tra il numeratore della prima frazione per il denominatore della seconda;

 

- si calcola il prodotto tra il denominatore della prima frazione per il numeratore della seconda.

 

Possono verificarsi a questo punto 3 casi.

 

1) Se il primo prodotto è minore del secondo, allora la prima frazione è minore della seconda;

 

2) Se il primo prodotto è uguale al secondo, allora siamo di fronte a due frazioni equivalenti.

 

3) Se il prodotto è maggiore del secondo, allora la prima frazione è maggiore della seconda.

 

 

Esempio

 

Qual è la frazione maggiore tra \frac{2}{5}\mbox{ e }\frac{3}{4}\ ?

 

- Il prodotto tra il numeratore della prima frazione per il denominatore della seconda è 2 \times 4 = 8.

 

- Il prodotto tra il denominatore della prima frazione per il numeratore della seconda è 5\times 3= 15

 

Poiché 8\,\textless\, 15 allora \frac{2}{5}\,\textless\,\frac{3}{4}.

 

 


 

Ecco fatto, abbiamo finito! Come al solito vi suggeriamo di proporre ai bambini tanti altri esempi e, quando reputerete che siano pronti, di proporre esercizi per far sì che gli alunni possano svolgerli in totale autonomia, in modo da valutare il loro livello di apprendimento. ;)

 

 

Buona Matematica a tutti

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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