[Quarta elementare] Frazioni complementari

Questa guida avrà come protagonista il concetto di frazione complementare di una frazione assegnata. La presentazione di questo argomento avverrà in due fasi: nella prima vedremo la definizione, nella seconda invece saranno esposte le tecniche per calcolarle.

 

Nota: questa guida riguarda argomenti di quarta elementare, ed è rivolta a genitori, maestri e a chiunque sia appassionato di didattica della Scuola Primaria.

 

Nota: su YouMath è presente una lezione dedicata agli studenti della scuola secondaria. Se foste interessati la potrete trovare qui: frazioni.

 

Che cosa sono le frazioni complementari

 

Le frazioni complementari non sono affatto un argomento difficile, a patto che i bambini abbiano compreso a pieno il significato stesso di frazione. Per introdurre questo nuovo concetto proporremo un semplice esempio-guida.

 

Il nostro Lester ha deciso di tinteggiare una parete della sua cameretta. In un solo pomeriggio ha pitturato i \frac{4}{7} della parete. Qual è la parte non colorata?

 

Per rappresentare la frazione propria (si veda classificazione delle frazioni\frac{4}{7} i bambini dovranno disegnare un rettangolo, dividerlo in 7 parti uguali ed evidenziarne 4.

 

 

Rappresentazione di una frazione complementare

 

 

Nell'immagine il rettangolo rappresenta la parete della camera. Da un lato abbiamo la parte colorata che corrisponde ai \frac{4}{7} della parete, dall'altro la parte di parete lasciata in bianco. L'obiettivo dei bambini è comprendere qual è la frazione corrispondente.

 

Gli alunni non dovrebbero riscontrare particolari difficoltà: la frazione cercata avrà come denominatore 7, ossia lo stesso denominatore della frazione \frac{4}{7}, e come numeratore 3, ossia il numero di parti bianche della parete.

 

\frac{3}{7}\ \mbox{e}'\mbox{ la frazione complementare di }\frac{4}{7}

 

I bambini osserveranno inoltre che le 4 parti colorate e le 3 parti bianche, insieme, formano l'intera parete. Dietro questa idea si nasconde la definizione di frazioni complementari: due frazioni proprie che insieme formano l'intero si dicono frazioni complementari.

 

 

Esempi di frazioni complementari

 

 

Frazioni complementari Rappresentazioni
\frac{1}{4}\mbox{ e }\frac{3}{4} Esempio di frazioni complementari con un cerchio
\frac{1}{2}\mbox{ e }\frac{1}{2} Esempio di frazioni complementari con un rettangolo
\frac{1}{8}\mbox{ e }\frac{7}{8} Esempio di frazioni complementari con un quadrato

 

 

Dalle immagini è chiaro che se addizioniamo due frazioni tra loro complementari otteniamo l'unità: i bambini devono infatti tenere a mente che la somma tra due frazioni complementati è 1, pertanto

 

\\ \frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\frac{4}{4}=1\\ \\ \\ \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{2}{2}=1\\ \\ \\ \frac{1}{8}+\frac{7}{8}=\frac{8}{8}=1

 

Come si trova la frazione complementare

 

Una volta chiarita la definizione, è giunto il momento di fornire gli strumenti necessari per il calcolo della frazione complementare di una frazione data.

 

Data una frazione propria è possibile trovare la sua frazione complementare in due modi: mediante le rappresentazioni o con il metodo algebrico.

 

Vediamo come procedere con il metodo delle rappresentazioni, mediante un esempio. Se ad esempio si vuole determinare la frazione complementare di \frac{4}{6}, possiamo rappresentare l'intero mediante una figura geometrica, come un triangolo...

 

 

Calcolo della frazione complementare

 

 

...dopodiché dividiamo il triangolo in 6 parti uguali e ne evidenziamo 4 parti, in figura quelle di colore verde.

 

La frazione complementare sarà la frazione che avrà

 

- come numeratore il numero di parti rimanenti: 2, nell'esempio proposto.

 

come denominatore lo stesso numero del denominatore della frazione di partenza: 6, nel nostro caso.

 

Il metodo delle rappresentazioni ci permette di concludere che la frazione complementare di \frac{4}{6} è \frac{2}{6}.

 

Metodo aritmetico con per il calcolo della frazione complementare

 

E se l'obiettivo fosse quello di determinare la frazione complementare di \frac{11}{120}\ ? Rappresentare una frazione del genere è un'impresa molto ardua, ma fortunatamente esiste un'alternativa: il metodo aritmetico per il calcolo della frazione complementare. Prima, però, un piccolo preambolo. 

 

In riferimento alla figura del triangolo, esso è stato diviso in sei parti, di cui quattro sono state colorate di verde e due di rosa. Il numero di parti rosa si ottiene come differenza del numero di parti in cui esso è stato diviso (corrisponde al denominatore della frazione 4/6), e il numero di parti colorate di verde, (corrisponde al numeratore della frazione 4/6). Questo non è un caso, è proprio la regola per trovare la frazione complementare senza i disegni.

 

La frazione complementare di una frazione propria ha:

 

- come numeratore la differenza tra il denominatore e il numeratore della frazione propria;

 

- come denominatore lo stesso denominatore della frazione propria.

 

 

\frac{\mbox{numeratore}}{\mbox{denominatore}}\ \to\ \mbox{Frazione complementare}=\ \frac{\mbox{denominatore}-\mbox{numeratore}}{\mbox{denominatore}}

 

 

A questo punto è d'obbligo riportare alcuni esempi:

 

- la frazione complementare di \frac{3}{10} è quella frazione che ha per numeratore 10-3=7 e per denominatore 10, ossia \frac{7}{10}.

 

- La frazione complementare di \frac{11}{120} è quella frazione che ha per numeratore 120-11=109 e per denominatore 121, dunque \frac{109}{120}.

 

- La frazione complementare di \frac{12}{13} è la frazione che ha per numeratore 13-12=1 e per denominatore 13, quindi \frac{1}{13}.

 

 


 

A questo punto vi suggeriamo di proporre ulteriori esempi svolti ai bambini, per poi passare ad esercizi che tenteranno di risolvere in totale autonomia. Dal canto nostro vi aspettiamo nella guida successiva, dove parleremo di frazioni equivalenti. :)

 

 

Buona Matematica a tutti

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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