Numeri misti

Come abbiamo visto nella guida sulla classificazione delle frazioni, una frazione impropria indica una quantità maggiore dell'intero, nel senso che indica almeno un'unità più qualcos'altro. Una frazione di questo tipo può tradursi in due diverse possibilità: può indicare uno o più interi (frazione apparente) oppure può indicare un numero misto.

 

In questa lezione vedremo cosa sono i numeri misti e i metodi per passare da una frazione impropria ad un numero misto e viceversa.

 

Nota: questa guida riguarda argomenti di quarta elementare, ed è rivolta a genitori, maestri e a chiunque sia appassionato di didattica della Scuola Primaria.

 

Che cos'è un numero misto

 

I bambini usano tutti i giorni numeri misti, anche senza rendersene conto. Frasi come

 

- "Vorrei una tazza di latte con 1 cucchiaio e mezzo di zucchero"

 

- "Ci vediamo tra due ore e un quarto"

 

ne rappresentano solo alcuni esempi. La presentazione di questi particolari numeri può avvenire tranquillamente tramite la definizione.

 

Un numero misto è un numero che si esprime come l'addizione tra un numero intero e una frazione propria.

 

 

Numero misto

 

 

Sono esempi di numeri misti

 

3+\frac{1}{2}

 

3 è il numero di interi, \frac{1}{2} è la frazione propria.

 

1+\frac{1}{2}

 

1 è l'intero, \frac{1}{3} è la frazione propria.

 

2+\frac{1}{4}

 

2 interi, \frac{1}{4} è la frazione propria.

 

La definizione di numero misto, in effetti, non dovrebbe generare molti dubbi; è più interessante invece osservare che un numero misto può rappresentare una quantità maggiore delle unità, così come accade nel caso delle frazioni improprie.

 

In realtà gli alunni comprenderanno presto che i due concetti sono profondamente legati tra loro, infatti ogni frazione impropria si può esprimere come numero misto, così come ogni numero misto può essere espresso come frazione impropria. Sarà loro compito imparare a passare da una forma all'altra.

 

Come passare da una frazione impropria a un numero misto

 

Esistono due modi per passare da una frazione impropria a un numero misto: con le rappresentazioni e con metodi algebrici. Il primo metodo consiste nell'utilizzare i disegni (la rappresentazione visiva aiuta moltissimo i bambini) ma dovrà essere abbandonata presto a favore del metodo aritmetico, un meno intuitivo, ma alla lunga estremamente comodo.

 

Proponiamo un esempio-guida per presentare agli alunni come passare da una frazione impropria a un numero misto con le rappresentazioni.

 

\frac{9}{4} è una frazione impropria, infatti il numeratore è maggiore del denominatore, l'obiettivo è quello di esprimerla come numero misto. Chiediamo quindi ai bambini di rappresentare la frazione data:

 

 

Numero misto con le quantità

 

 

Poniamo alcune domande agli alunni: quanti interi ci sono? Quante parti dell'intero rimanente sono state evidenziate? I bambini non dovrebbero avere dubbi sulle risposte: gli interi sono due interi, mentre la frazione propria è 1/4. Queste informazioni sono utili perché permettono loro di scrivere

 

\frac{9}{4}= 2+\frac{1}{4}


ossia \frac{9}{4} è la somma tra 2\mbox{ e }\frac{1}{4}. Tutto qui.

 

Proponiamo altri esempi

 

 

Frazione impropria Rappresentazione Numero misto
\frac{3}{2} Da frazione impropria a numero misto 1+\frac{1}{2}
\frac{7}{3} Rappresentazione di un numero misto 2+\frac{1}{3}
\frac{10}{3} Esempio su come passare da frazione impropria a numero misto 3+\frac{1}{3}

 

 

La rappresentazione delle frazioni mediante disegni diventa via via molto complicata, soprattutto se il numeratore o il denominatore sono numeri molto grandi. Gli alunni capiscono al volo che utilzzare questo metodo per frazioni come \frac{31}{10} diventa lungo e noioso.

 

Fortunatamente i disegni possono essere sostituiti da qualche calcolo nemmeno troppo complicato. Per presentare il metodo artimetico per passare dalla frazione impropria al numero misto, procediamo come nel caso precedente presentando ai bambini un esempio: trasformeranno la frazione \frac{29}{ 2} in numero misto, eseguendo due semplici passaggi.

 

1) Eseguiamo la divisione con resto tra il numeratore e il denominatore.

 

29:2 ha come quoziente 14 e resto 1

 

2) Teniamo a mente che il quoziente della divisione sarà l'intero del numero misto. La frazione propria avrà come numeratore il resto e come denominatore il denominatore della frazione di partenza. Dunque la frazione impropria si riscrive come:

 

\frac{29}{2}=14+\frac{1}{2}

 

Facile come eseguire una divisione, o no? :)

 

Come passare da un numero misto ad una frazione impropria

 

I bambini devono ovviamente imparare a passare da un numero misto ad una frazione impropria, utilizzando le rappresentazioni in un primo momento e il metodo aritmetico nel seguito.

 

Con le rappresentazioni: passare da un numero misto alla frazione impropria non è difficile e per mostrarlo ci serviamo di un opportuno esempio: qual è la frazione impropria da associare al numero misto

 

3+\frac{1}{4}\ ?

 

In questo caso, gli alunni dovranno:

 

- rappresentare il numero di interi presente nel numero misto: 3, nell'esempio proposto;

 

- aggiungere un ulteriore intero per rappresentare la frazione propria;

 

- dividere ciascun intero in tante parti quante sono indicate dal denominatore della frazione propria, 4 parti.

 

 

Esempio su come passare da un numero misto ad una frazione impropria

 

 

La frazione impropria associata al numero misto avrà:

 

- come numeratore il numero totale delle parti, nel nostro esempio 13;

 

- come denominatore lo stesso denominatore della frazione propria del numero misto: nell'esempio proposto è 4;

 

Dunque

 

3+\frac{1}{4}= \frac{13}{4}

 

Tutto qui. ;)

 

 

Se nei numeri misti appaiono numeri molto grandi, la rappresentazione può diventare troppo dispersiva, ed in un'eventualità del genere è necessario ricorrere al metodo aritmetico. Anche in questo caso possiamo spiegare il metodo servendoci di un esempio: qual è la frazione impropria associata a

 

4+\frac{1}{12}\ ?

 

Per rispondere correttamente, si devono seguire 3 semplici passi.

 

1) Si esegue la moltiplicazione tra loro il denominatore della frazione propria per l'intero:

 

4\times 12= 48

 

2) Al prodotto precedente si aggiunge il numero che si trova al numeratore della frazione propria. Il risultato sarà il numeratore della frazione impropria. Eseguendo l'addizione si giunge a

 

48+1=49

 

3) Il denominatore della frazione impropria coinciderà con quello della frazione propria presente nel numero misto: nell'esempio proposto è 12.

 

Dunque

 

4+\frac{1}{12}=\frac{49}{12}

 

 


 

Non c'è altro da aggiungere, quindi ci fermiamo qui. Nella prossima lezione parleremo di frazioni complementari, un altro simpatico concetto matematico.

 

 

Alla prossima!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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