Scomposizioni di un numero con i diagrammi ad albero

Nelle puntate precedenti abbiamo parlato di numeri primi e numeri composti, quello che non abbiamo fatto è spiegare perché essi hanno un ruolo importante nell'aritmetica, che si rivela con la scomposizione di un numero in fattori primi. Vedremo come spiegare ai bambini cosa significa scomporre un numero in fattori primi e come utilizzare i diagrammi ad albero per eseguire la fattorizzazione.

 

Nota: questa guida riguarda argomenti di quarta elementare, ed è rivolta a genitori, maestri e a chiunque sia appassionato alla didattica della Scuola Primaria.

 

Nota 2: su YouMath è disponibile anche una lezione dedicata agli studenti delle scuole medie. Potete consultarla qui: scomposizione in fattori primi.

 

Che cosa significa scomporre un numero


Grazie al crivello di Eratostene gli alunni hanno potuto constatare che ogni numero maggiore di uno o è un numero primo oppure un numero composto.  Un numero primo ha solo due divisori, 1 e se stesso, così come i numeri composti hanno almeno un altro divisore diverso da 1 e dal numero stesso. Ogni numero composto è quindi il prodotto della moltiplicazione di più fattori diversi da 1.

 

Ha senso quindi parlare di scomposizione di un numero. Scomporre un numero significa scriverlo come prodotto di due o più fattori.

 

Esempi sulle scomposizioni dei numeri

 

• 12 si scrive come 12x1, 6x2, 3x4, 4x3, 2x6, 1x12 o ancora come 2x2x3;

 

• 16 si scrive come 16x1, 8x2, 4x4, 2x8, 1x16, 2x2x2x2;

 

• 20 si scrive come 20x1, 10x2, 5x4, 5x2x2.

 

Questi esempi mettono in evidenza un fatto importante, ossia che la scomposizione di un numero non è unica; è possibile cioè trovare più modi diversi per esprimere un numero composto come prodotto di due o più fattori. Se però si richiede che i fattori debbano essere numeri primi allora le cose cambiano:

 

ogni numero composto può essere scritto, in modo unico, come un prodotto di fattori primi.

 

I bambini non comprendono ancora la bellezza di questo enunciato che, con un pizzico di poetica, asserisce che i numeri primi rappresentano i mattoncini dell'aritmetica e permettono di ottenere tutti gli altri numeri!

 

Esempi sulla scomposizione dei numeri in fattori primi

 

• 12 si scrive in modo unico in fattori primi come 2x2x3;

 

• 18 si scrive in modo unico come 2x3x3;

 

• 20 si scrive in modo unico come 2x2x5.

 

Chiarito questo concetto, il prossimo passaggio consiste nello spiegare ai bambini come scomporre un numero in fattori primi. Utilizzeremo i diagrammi ad albero per facilitare l'esposizione.

 

Scomposizione dei numeri in fattori primi con i diagrammi ad albero

 

La scomposizione dei numeri con i diagrammi ad albero è il metodo più intuitivo e semplice, dunque adatto agli alunni della scuola primaria. Per fornire ai bambini gli strumenti necessari per la scomposizione di un numero in fattori primi, proporremo un esempio-guida..

 

L'obiettivo consiste nello scomporre in fattori primi il numero 72 e per farlo andremo alla ricerca di due numeri che moltiplicati tra loro danno come risultato il numero che si vuole scomporre. I due numeri che fanno al caso nostro sono 9x8=72. Il compito dei bambini prevede di rappresentare questo passaggio con il seguente diagramma ad albero.

 

 

Diagrammi ad albero per scomporre un numero

 

 

Partendo dal numero 72 si sono generati due rami, agli estremi dei quali sono presenti i due fattori. A questo punto è necessario analizzare singolarmente ogni estremo:

 

- se il fattore è un numero è composto, l'estremo in questione si scriverà come prodotto di due numeri, ossia verranno generati altri due rami;

 

- se l'estremo è un numero primo, allora il ramo smette di crescere.

 

Nell'esempio sia 9 che 8 sono numeri composti e si possono esprimere come 9=3x3 e 8=2x4.

 

 

Scomposizione di un numero con i grafi

 

 

Sia 3 che 2 sono numeri primi e i relativi rami smettono di crescere. Rimane solo il 4 che si esprime come il prodotto della moltiplicazione 2x2.

 

 

Scomposizione di 72 in numeri primi con i diagrammi ad albero

 

 

La scomposizione del numero in fattori primi con i diagrammi ad albero si conclude quando tutti i rami hanno per estremi dei numeri primi. Il numero di partenza, 72, si scriverà in modo unico come

 

72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3

 

 

Qualche altro esempio sui diagrammi ad albero

 

 

Scomposizione in numeri primi del numero 20 con i grafi

 

 

Il numero 20 si scrive come prodotto dei numeri 2 e 10. Il numero 2 è primo, mentre il numero dieci si scompone come il prodotto dei numeri 2 e 5.

 

20 = 2 x 2 x 5

 

Attenzione, i bambini possono obiettare che 20 è anche il prodotto dei numeri 4 e 5, dubitando della correttezza della scomposizione precedente. In realtà il 4 a sua volta però si scompone come 2x2, il 5 è primo. Il diagramma ad albero sarà:

 

 

Scomposizione del numero venti

 

Nonostante l'albero abbia una struttura diversa rispetto alla precedente, la scomposizione in fattori primi risulta essere identica:

 

20 = 2 x 2 x 5

 

Dal precedente esempo, in particolare, potremo far notare che la scomposizione di un numero in fattori primi è unica a meno dell'ordine con cui compaiono i fattori nella scomposizione.

 

 

Ancora un altro esempio: come si scompone in fattori primi il numero 100? Grazie alla tabellina del 10 i bambini sanno che 10x10=100, inoltre 10 è uguale a 2x5 di conseguenza l'albero del 100 è

 

 

Scomposizione in numeri primi con il diagramma ad albero

 

 

100 = 2 x 2 x 5 x 5

 

La scomposizione in fattori primi con il diagramma ad albero permette, almeno per il momento, di evitare l'introduzione dei criteri di divisibilità; è sufficiente infatti conoscere a menadito le tabelline dei numeri. Per i bambini alle prime armi è anche possibile utilizzare la tavola pitagorica.

 

 

Un saluto 

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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