Crivello di Eratostene

La distinzione tra numeri primi e numeri composti hanno sempre affascinato gli uomini di tutti i tempi, e hanno da sempre spinto gli uomini alla ricerca di un metodo per individuare i numeri primi. Il più famoso e antico algoritmo per determinare i primi è il crivello di Eratostene. In questa guida vedremo come spiegare ai bambini cos'è e come funziona il setaccio per i numeri primi.

 

Nota: questa guida riguarda argomenti di quarta elementare, ed è rivolta a genitori, maestri e chiunque sia appassionato alla didattica della Scuola Primaria.

 

Nota 2: su YouMath è presente una lezione riguardante i numeri primi dedicata agli studenti della scuola media. Potrete trovarla qui: numeri primi.

 

Crivello di Eratostene: cos'è e come funziona

 

Il crivello di Eratostene è un metodo molto antico che permette di trovare tutti i numeri primi minori o uguali ad un certo numero fissato. I bambini possono immaginarlo come un setaccio, lo strumento che usano quando giocano con la sabbia al mare. Quello di Eratostene però è davvero particolare perché una volta riempito di numeri, lascia cadere i numeri composti e trattiene solo i numeri primi.

 

 

Crivello di Eratostene

 

Vediamo il funzionamento del crivello di Eratostene per determinare i numeri primi più piccoli di 50, cominciando a costruire un tabella in cui verranno trascritti i numeri da 1 a 50.

 

 

Tabella del setaccio di Eratostene

 

 

Prima di tutto gli alunni dovranno cancellare il numero 1, perché già sapranno che non è un numero primo né un numero composto, e cerchieranno il numero 2.

 

Il passaggio successivo consiste nell'eliminare tutti i multipli di 2 presenti nella tabella ad eccezione di quest'ultimo. I numeri setacciati saranno: 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 48, 50.

 

 

Come funziona il crivello di Eratostene

 

 

Il numero successivo non setacciato è il 3: si eliminano quindi tutti i suoi multipli, escluso il 3 stesso. I numeri setacciati saranno 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48.

 

 

Eliminazione dei multipli di tre nella tabella

 

 

Si procede allo stesso modo per il numero 5, si cerchia e si eliminano tutti i suoi multipli: 10, 15, 20, 25, 30, 45, 50.

 

 

Crivello di Eratostene: eliminazione dei multipli di 5

 

 

Il meccanismo dovrebbe essere ormai chiaro agli alunni. Si cerchia il numero 7 e si cancellano tutti i suoi multipli: 14, 21, 28, 35, 42, 49.

 

 

Eliminazione dei multipli di 7

 

 

In sostanza l'algoritmo consiste di tre passaggi:

 

- si prende in considerazione il numero non setacciato;

- lo si cerchia;

- si eliminano tutti i suoi multipli.

 

Reiterando il processo con i numeri 11, 13, 17, 19, 23,29, 31, 37, 41, 43, 47, i bambini si ritroveranno una tabella come questa:

 

 

Eliminazione dei multipli nel setaccio dei numeri primi

 

 

Tutti i numeri cerchiati

 

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47

 

sono i numeri primi minori o uguali a 50, mentre quelli cancellati sono numeri composti.

 

 

Un piccolo trucco: cancellare i multipli di un numero può creare dei grattacapi a qualche bambino carente nelle tabelline, consigliamo di conseguenza una semplice tecnica.

 

Partendo da un numero primo, i bambini conteranno in avanti un numero di posti pari al numero primo considerato. La cella raggiunta conterrà un suo multiplo, che andrà ovviamente cancellato.

 

Da quest'ultimo conteranno ancora una volta in avanti di un numero di posti pari al numero primo in questione, ottenendo ancora una volta un suo multiplo. Continueranno così fino a raggiungere l'ultimo numero della tabella. Facciamo loro osservare che implicitamente stanno facendo uso della moltiplicazione intesa come addizione ripetuta.

 

Esempio sul crivello di Eratostene

 

Chiediamo agli alunni di cancellare i multipli di 3 dalla seguente tabella. Partendo da 3, eseguiranno 3 salti in avanti, raggiungendo il 6. Ancora 3 salti in avanti raggiungiamo il 9, tre salti in avanti ed ecco il 12, ancora tre salti e arriviamo a 15 e così via...

 

 

 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

 

 

Tornando al setaccio di Eratostene, nessuno impedisce di costruire delle tabelle sempre più grandi, e scovare sempre più numeri primi. Questo rafforza una verità matematica la cui dimostrazione non è ancora alla portata di un alunno di Scuola Primaria: i numeri primi sono infiniti.

 

Dagli esempi proposti, inoltre, è chiaro che o un numero rimane nel setaccio ed è dunque primo, oppure cade perché è un numero composto, l'idea trasmessa sarà quindi la seguente: ogni numero, che non sia zero o uno, è un numero primo oppure un numero composto.

 

 


 

Ecco fatto, abbiamo portato a termine questa guida: niente di complicato, bisogna stare solo un po' attenti e sincerarsi che gli alunni cancellino i numeri giusti. Per far sì che si esercitino possiamo invitarli a costruire crivelli sempre più grandi.

 

 

Alla prossima!

Salvatore Zungri (Ifrit)

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