Multipli di un numero

I protagonisti di questa guida sono i multipli dei numeri. Vedremo come spiegarli ai bambini utilizzando i reticoli, i quali faciliteranno l'esposizione di alcune delle proprietà fondamentali. La familiarità con le tabelline inoltre rappresenterà certamente un vantaggio per gli alunni, e a tal proposito consigliamo di guidarli in un ripasso prima di iniziare questa nuova unità didattica.

 

Nota: questa guida riguarda argomenti di quarta elementare, ed è rivolta a genitori, maestri e a chiunque sia appassionato alla didattica della Scuola Primaria.

 

Nota 2: per chi fosse interessato, su YM è disponibile anche una lezione dedicata ai multipli per gli studenti delle scuole medie.

 

I multipli di un numero

 

Le tabelline sono certamente un punto di partenza per spiegare agli alunni il concetto di multiplo di un numero, e come vedremo tra un istante la tavola pitagorica ci permetterà di agevolare di molto. Possiamo sfruttarla come strumento didattico per presentare il nuovo argomento.

 

 

Tabella dei multipli di un numero

 

 

Nell'immagine ogni riga colorata rappresenta una tabellina.

 

Prendiamo ad esempio la tabellina del tre. I numeri

 

0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30

 

sono i multipli di 3, così come i numeri

 

0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70

 

sono i multipli di 7.

 

I precedenti esempi forniscono una primissima idea: i multipli di un numero compaiono nella tabellina del numero stesso. È un'intuizione suggestiva estremamente funzionale nelle prime fasi dell'apprendimento.

 

Il secondo step consiste nell'affinare il linguaggio, fornendo ai bambini la definizione di multiplo di un numero: un multiplo di un numero è un qualsiasi prodotto di quel numero per un altro, dove con prodotto ci riferiamo naturalmente al risultato della moltiplicazione.

 

Non fermiamoci mai alle sole parole, e ricordiamoci di accompagnarle sempre con degli esempi significativi.

 

Esempi sui multipli

 

- 15 è multiplo di 3 perché 15 è il prodotto di 3x5;

 

- 15 è anche multiplo di 5 perché è il prodotto di 5x3;

 

- 20 è multiplo di 4 perché è il risultato della moltiplicazione di 4x5;

 

- 42 è multiplo di 6 perché si esprime come 6x7;

 

- 7 è multiplo di 7 perché è il prodotto di 7x1.

 

Proprietà dei multipli

 

Ok, ora possiamo concentrare l'attenzione degli alunni sul primo e sul secondo esempio della lista, i quali mettono in evidenza la prima proprietà dei multipli:

 

lo stesso numero può essere multiplo di più numeri.

 

Questa caratteristica può essere evidenziata anche con la tabella della moltiplicazione.

 

- 12 fa parte della tabellina del 2, della tabellina del 3, della tabellina del 4 e della tabellina del 6 ed è dunque il multiplo di questi numeri;

 

- 21 è multiplo di 3 e 7, ed infatti è presente sia nella tabellina del 3 e nella tabellina del 7.

 

Vi sono altre due proprietà dei multipli che i bambini devono tenere a mente. La prima asserisce che

 

ogni numero è multiplo di 1 e di sé stesso

 

infatti ogni numero si scrive come il prodotto di 1 per sé stesso.

 

Inoltre

 

0 è multiplo di ogni numero

 

perché 0 è il prodotto della moltiplicazione tra un qualsiasi numero e 0 stesso.

 

Esempi

 

- 5 è multiplo sia di 1 che di sé stesso, infatti 5=5x1;

 

- 0 è multiplo di 5 perché è il prodotto della moltiplicazione 5x0;

 

- 0 è multiplo di 6 perché è il prodotto della moltiplicazione 6x0.

 

 

Passiamo ad un'ulteriore proprietà dei multipli:

 

ogni numero ha infiniti multipli

 

La lista dei multipli di un numero non finisce mai e non è quindi possibile elencarli tutti. Qui fallisce l'idea iniziale di associare i multipli di un numero ai prodotti presenti nelle tabelline. Tramite quest'ultime i bambini imparano a riconoscere solo i primi 11 multipli dei numeri da 0 a 10, ma non vanno oltre.

 

Poco importa: l'approccio delle tabelline è già servito per instillare negli alunni la nozione di multiplo di un numero. Per indicare tutti i multipli di un numero se ne riportano alcuni (in modo ordinato) seguiti da alcuni punti sospensivi, il cui compito è quello di evidenziare che l'elenco continua indefinitamente:

 

- I multipli di 4 sono 0, 4, 8, 12, 16, ...

 

- I multipli di 7 sono 0, 7, 14, 21, 28, ...

 

- I multipli di 15 sono 0, 15, 30, 45, 60, ...

 

Un'ulteriore regola che serve a spianare la strada per gli argomenti successivi asserisce che

 

il prodotto di due numeri è multiplo comune dei fattori.

 

Ad esempio 5x2=10, dove 10 è il prodotto della moltiplicazione di 5 per 2 ed è multiplo di entrambi i fattori, sia di 5 che di 2.

 

Multipli di un numero con i reticoli

 

I reticoli ed in particolare gli incroci forniscono un utile strumento didattico che permette di introdurre i multipli di un numero mediante disegni. Per spiegare come usarli porteremo un esempio-guida: l'obiettivo è determinare i multipli di 3.

 

Chiediamo ai bambini di tracciare 3 righe orizzontali e nessuna riga verticale

 

 

Zero è multiplo di tre

 

 

Il numero di incroci è zero, di conseguenza 3x0=0 e dunque zero è multiplo di tre.

 

Ora facciamo in modo che traccino una riga verticale, e chiediamo di contare il numero di incroci.

 

 

Tre è multiplo di se stesso

 

 

Il numero di incroci è tre, 3x1=3, e dunque 3 è multiplo di 3.

 

Se si tracciano due righe verticali

 

 

Sei è multiplo di tre

 

 

si vede subito che il numero di incroci è sei, 3x2=6, poiché 6 è il prodotto di 3x2 allora è multiplo di 3.

 

Ogni volta che inseriranno una linea verticale, il numero di incroci risultante sarà un multiplo di tre. Questa strategia funziona con qualsiasi altro numero, però presenta un piccolo difetto: se il numero di cui si vuole determinare i multipli è molto grande, oppure se si inseriscono tante righe verticali, il conteggio degli incroci si complica troppo.

 

E allora perché proporre i reticoli nell'unità didattica? Semplicemente perché permettono di estrapolare facilmente alcune regole fondamentali.

 

La prima asserisce che ad ogni aggiunta di una riga verticale vengono generati tanti incroci quante sono le righe orizzontali, ed il numero di incroci totale è ancora un multiplo.

 

Ciò suggerisce la seguente idea:

 

se si addiziona al multiplo di un numero il numero stesso si ottiene un nuovo multiplo.

 

Questa proprietà permette di determinare i multipli di un numero tramite la linea dei numeri.

 

 

Multipli di un numero con la linea dei numeri

 

 

Nell'immagine sono indicati i multipli di 3, ottenuti partendo dallo zero e facendo salti di tre unità verso destra. Naturalmente aumentando la lunghezza della linea è possibile determinare un numero di multipli maggiore.

 

Con questo argomento, i reticoli mostrano la loro straordinaria utilità didattica. Vediamo un ulteriore esempio sul loro utilizzo per ricavare nuove proprietà dei multipli.

 

Se ad un reticolo si aggiungono più linee verticali, verrà generato un nuovo reticolo il cui numero totale di incroci sarà ancora un multiplo del numero di righe. Ancora una volta, le parole sono troppo elaborate, un disegno rende tutto molto più semplice.

 

 

Multipli di un numero naturale con gli incroci

 

Nell'immagine abbiamo disegnato due reticoli, di cui uno con 24 incroci e uno con 9. Il numero totale di incroci è 33 ed è ancora un multiplo di 3, questo perché 33 è il prodotto di 3 (il numero di righe orizzontali) per 11, il numero totale di righe verticali. La regola matematica che si cela dietro questo esempio è la seguente:

 

la somma di due multipli di un numero è ancora un multiplo del numero dato.

 

Esempi

 

- 9 e 6 sono multipli di 3. Se si esegue l'addizione tra i numeri 9 e 6 si ottiene 15, che è ancora multiplo di 3;

 

- 12 e 18 sono multipli di 6, 12+18=30 e la somma è ancora un multiplo di 6;

 

- 15 e 20 sono multipli di 5, 15+20=35 che è ancora multiplo di 5;

 

Sempre con l'uso dei reticoli i bambini possono apprendere che

 

la differenza di due multipli di un numero è ancora un suo multiplo.

 

Esempi

 

- 10 e 5 sono multipli di 5 e la sottrazione 10-5 ha come risultato 5 è ancora un multiplo di 5;

 

- 12 e 6 sono multipli di 3 e la differenza 12-6=6 è ancora un multiplo di 3;

 

- 21 e 14 sono multipli di 7 e la loro differenza 21-14=7 è ancora un multiplo di 7.

 

Per convincere i bambini della validità della regola appena enunciata possiamo proporre il seguente ragionamento: se da un reticolo si tolgono delle righe verticali, verrà a crearsi un nuovo reticolo il cui numero di incroci è un multiplo del numero di righe orizzontali.

 

 

Per questa lezione è tutto, nella prossima lezione parleremo di divisori (o sottomultipli), un nuovo concetto che però è strettamente imparentato a quello proposto in questa lezione.

 

 

Buona continuazione 

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

Lezione precedente............Lezione successiva


Tags: multipli di un numero per la scuola elementare - come si trovano i multipli di un numero con i reticoli - come spiegare i multipli a un bambino.