Probabilità di avere una coppia d'assi nel Texas Hold'Em

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A meno che tu non abbia vissuto su Marte negli ultimi 10 anni, avrai sentito nominare almeno una volta il gioco del Texas Hold'Em. Si tratta di una variante del Poker classico in cui si comincia con 2 carte in mano e si hanno a disposizione 5 carte sul tavolo, scoperte alla vista dei giocatori, utilizzabili da tutti e distribuite in tre momenti distinti nella mano (3+1+1).

 

 

In questo articolo vedremo come calcolare la probabilità di avere una coppia d'assi all'inizio della mano, per poi calcolare la probabilità di avere una coppia di carte uguali (qualunque esse siano).

 

Il mazzo con cui si gioca al Texas Hold'Em è il classico mazzo da 52 carte: ci sono 4 semi (fiori, picche, quadri e cuori) e per ciascun seme ci sono 13 carte (A,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K).

 

Per calcolare la probabilità di ricevere una coppia d'assi al momento della distribuzione delle carte, dobbiamo contare il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili, per poi calcolare la suddetta probabilità come

 

\mathbb{P}(\mbox{coppia di assi})=\frac{#\ \mbox{casi favorevoli}}{#\ \mbox{casi possibili}}

 

cioè facendo ricorso al modello della probabilità discreta uniforme.

 

Il numero di casi favorevoli è il numero di possibili coppie d'assi che si possono formare con i 4 assi del mazzo. Possiamo contarle a mano o, meglio, possiamo calcolarne il numero con la formula per le combinazioni semplici: si tratta di contare il numero di combinazioni semplici che si possono formare pescando 2 carte da un gruppo di 4 carte, senza reimmissione

 

#Possibili coppie d'assi: \ \binom{4}{2}=\frac{4!}{(4-2)!\ 2!}=\frac{24}{4}=6

 

dove, per chi non lo sapesse, il punto esclamativo denota il fattoriale mentre la parentesi \binom{\cdot}{\cdot} indica il coefficiente binomiale.

 

Per i casi possibili, vale a dire tutte le possibili coppie di carte che si possono formare con 52 carte, si ragiona in modo analogo. Ricordiamoci sempre che le estrazioni vengono effettuate senza reimmissione!

 

#Possibili coppie: \ \binom{52}{2}=\frac{52!}{(52-2)!2!}=1326

 

La probabilità di ricevere una coppia d'assi nel Texas Hold'Em è quindi

 

\mathbb{P}(\mbox{coppia di assi})=\frac{6}{1326}=\frac{1}{221}

 

vale a dire 1 su 221.

 

Se ora notiamo che il calcolo è analogo per tutte le altre coppie di carte uguali a meno del seme (ad esempio una coppia di K), possiamo calcolare agevolmente la probabilità di ricevere una coppia qualsiasi di carte uguali (in gergo una coppia). Per determinarla è sufficiente moltiplicare la precedente probabilità per il numero di tipi di carte a disposizione, ossia per 13

 

\mathbb{P}(\mbox{coppia})=\frac{13}{221}=\frac{1}{17}

 

Un po' meglio: 1 su 17...Wink

 

Come si giustifica il precedente risultato? Abbiamo considerato l'unione degli eventi {ricevere una coppia di carte di uno specifico tipo} per ciascuno dei 13 tipi di carte a disposizione. Trattandosi di eventi incompatibili, la probabilità della loro unione è la somma delle singole probabilità, quindi

 

\overbrace{\frac{1}{221}+...+\frac{1}{221}}^{13\mbox{ volte}}=\frac{13}{221}=\frac{1}{17}

 

 

Sayonara!

Fulvio Sbranchella (a.k.a. Agente Ω)

 

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