Indice di massa corporea

Indice di massa corporea - BMI

Parliamo di peso e salute e in particolare di un indice molto significativo: il famigerato indice di massa corporea, noto anche come BMI (Body Mass Index).

 

 

In questo articolo vedremo che cos'è l'indice di massa corporea, com'è definito e a cosa serve; nel contempo proporremo anche un tool per il calcolo del BMI direttamente dai parametri di peso e altezza.

 

 

Utile, molto utile per chi vuole valutare la propria forma fisica in termini matematici...Wink

 

Successivamente, da appassionati della Matematica quali siamo, proporremo alcuni spunti didattici (per studenti e docenti) e useremo il calcolo dell'indice di massa corporea come espediente per mostrare come la Matematica governa e descrive aspetti molto comuni e pratici della nostra vista quotidiana.

 

Sei in forma? L'occhio vuole la sua parte, ma l'ultima parola spetta alla Matematica! Tongue out

 

Cos'è l'indice di massa corporea

 

L'indice di massa corporea non è nient'altro che un valore numerico che esprime una determinata relazione tra il peso e l'altezza di un individuo.

 

Più precisamente, l'indice di massa corporea (per definizione) è il rapporto tra il peso della persona ed il quadrato della sua altezza

 

\mbox{BMI}:=\frac{peso}{\mbox{altezza}^2}

 

In simboli:

 

\mbox{BMI}:=\frac{P}{H^2}

 

dove il peso va espresso in Kilogrammi (Kg) e l'altezza va espressa in metri (m). A titolo di cronaca, l'indice di massa corporea venne definito per la prima volta dallo studioso Adolphe Quetelet, il quale stabilì che il suddetto rapporto potesse fornire una buona gamma di informazioni per valutare la forma fisica e lo chiamò Body Mass Index (BMI).

 

Ovviamente l'indice di massa corporea fornisce un'indicazione sommaria, perché dipende solamente dal peso e dall'altezza; cionondimeno esso permette di condensare in un unico coefficiente diverse informazioni valide, specie se si riferisce a persone sedentarie che non svolgono alcuna attività fisica.

 

Calcola il tuo indice di massa corporea

 

Se vuoi calcolare il tuo indice di massa corporea inserisci nel tool sottostante il tuo peso espresso in kilogrammi e la tua altezza in centimetri. Dopo aver cliccato su calcola potrai conoscere il tuo BMI, e non solo...ma non vogliamo rovinarti la sorpresa! Wink

(Importante: per indicare i numeri decimali, usa il punto e non la virgola)

 

 

Come leggere il BMI - Tabella per l'indice di massa corporea

 

L'idea di base della formula del BMI consiste nell'esprimere una valutazione sul peso vincolandolo all'altezza dell'individuo (e di farlo con un relazione abbastanza semplice). Perfetto! Ma come si usa l'indice di massa corporea per capire se siamo sottopeso, normopeso o sovrappeso?

 

Il punto è che la formula dell'indice di massa corporea viaggia di pari passo con una tabella di fasce di BMI. Tale tabella, stilata a priori sulla base di determinate valutazioni mediche, stabilisce gli intervalli di BMI entro i quali una persona può definirsi sottopeso, sovrappeso o nelle giuste condizioni di peso.

 

In tutto abbiamo 8 fasce:

 

TIPO MINIMO BMI MASSIMO BMI

Obesità di classe 3 (grave)

≥40,00

Obesità di classe 2 (accentuata)

35,00 39,99
Obesità di classe 1 (lieve) 30,00 34,99
Sovrappeso 25,00 29,99
Peso ideale 18,50 24,99
Sottopeso 17,50 18,49
Anoressia moderata 15,50 17,49
Anoressia grave <15,50

 

Da notare come il tool per calcolare l'indice di massa corporea individui automaticamente la fascia di BMI di appartenenza. E a proposito, una piccola anticipazione: nell'articolo successivo parleremo del calcolo del peso idealeWink

 

La Matematica dell'indice di massa corporea

 

Riprendiamo la formula del BMI. Ci sono diversi aspetti che vale la pena di prendere in considerazione.

 

1) (Livello: scuola media) se fissiamo un valore per il peso, la formula dell'indice di massa corporea

 

\mbox{BMI}=\frac{P}{H^2}

 

esprime una legge di proporzionalità inversa tra il BMI ed il quadrato dell'altezza. Qui la costante di proporzionalità è proprio il valore del peso che abbiamo deciso di fissare.

 

Ciò significa in particolare che, a parità di peso, all'aumentare dell'altezza diminuisce il valore dell'indice di massa corporea, e viceversa al crescere dell'indice di massa corporea diminuisce l'altezza.

 

Al contrario se decidiamo di fissare un valore dell'altezza, e riscriviamo la formula del BMI come

 

\mbox{BMI}=\frac{1}{H^2}\times P

 

è facile vedere che essa esprime una legge di proporzionalità diretta tra il BMI ed il peso. Ciò implica nello specifico che, a parità di altezza, all'aumentare del peso aumenta il valore dell'indice di massa corporea.

 

2) (Livello: V superiore, Analisi 1) Il tool per il calcolo del BMI non si limita a fornire il valore dell'indice di massa corporea e, come avrete sicuramente notato, lo colloca in un grafico. Vediamo di capire che cosa rappresenta...

 

 

Grafico dell'indice di massa corporea

 

 

Il grafico di collocamento dell'indice di massa corporea non è assolutamente il grafico della funzione \mbox{BMI}(P,H), che tra l'altro è in due variabili. E allora cos'è e com'è fatto?...

 

Riprendiamo la tabella delle fasce di BMI: il grafico di collocamento si delinea considerando le fasce limite sottopeso, peso ideale, sovrappeso, obeso. Sull'asse delle ascisse abbiamo i valori di peso P e sull'asse delle ordinate i valori dell'altezza H.

 

Per poter delineare le fasce di indice di massa corporea e allo stesso tempo classificare una coppia di dati (PESO,ALTEZZA) si procede come segue: si considerano i valori limite tra le quattro fasce

 

\mbox{BMI}_1=18,5\ \mbox{ tra sottopeso e peso ideale}

\mbox{BMI}_2=24,5\ \mbox{ tra peso ideale e sovrappeso}

\mbox{BMI}_3=30\ \mbox{ tra sovrappeso e obeso}

 

A questo punto si considerano tre funzioni reali di variabile reale e nello specifico quelle che si ricavano dalla formula dell'indice di massa corporea:

 

- fissando il valore dell'indice di massa corporea;

- invertendo la relazione in modo da esprimere l'altezza in funzione del peso.

 

In parole povere trattiamo l'indice di massa corporea come una costante fissata.

 

\mbox{BMI}=\frac{P}{H^2}\ \to\ H^2=\frac{P}{\mbox{BMI}}

 

ed estraiamo la radice quadrata (nessun problema dato che lavoriamo con quantità positive)

 

H=\sqrt{\frac{P}{\mbox{BMI}}}

 

Ok! Con i tre valori limite \mbox{BMI}_i,\ i=1,2,3, possiamo individuare le curve limite come grafici delle tre funzioni

 

H=\sqrt{\frac{P}{\mbox{BMI}_1}},\ H=\sqrt{\frac{P}{\mbox{BMI}_2}},\ H=\sqrt{\frac{P}{\mbox{BMI}_3}}

 

 

3) (Livello: università, Analisi 2) Momento, momento, momento...Le considerazioni viste nel punto 2) sono ideali per chi dispone degli strumenti di quinta superiore. Non c'è un modo più veloce?

 

Eccome se c'è: a ben vedere l'indice di massa corporea è una funzione di due variabili: massa e peso

 

\mbox{BMI}: \mathbb{R}^+\times \mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+

(P,H)=\frac{P}{H^2}

 

Potendo lavorare con le funzioni a due variabili, basta osservare che le curve limite delle fasce di BMI corrispondono a determinate curve di livello della funzione

 

(P,H)=\frac{P}{H^2}

 

ed in particolare alle curve di livello che corrispondono ai valori \mbox{BMI}_1,\ \mbox{BMI}_2,\ \mbox{BMI}_3 !

 

Qualche esercizio sull'indice di massa corporea

 

Tranquilli, non stiamo parlando di esercizi per migliorare il BMI. Tongue out Piuttosto vogliamo proporvi un paio di spunti, rivolti a chi vuole applicare un po' di sana Matematica in un caso concreto, in modo da sviluppare le proprie capacità analitiche.

 

 

[III Media] Calcola il tuo BMI attuale. Successivamente, immagina di aver mangiato un sacco di dolci e di essere ingrassato di 10 Kg. Qual è la variazione percentuale del nuovo BMI rispetto a quello di partenza? 

 

 

[III - IV Superiore] [Geometria Analitica] Calcola il tuo indice di massa corporea e considera la relazione che lega peso e altezza, sostituendovi il valore di BMI appena calcolato. Supponendo che P,H possano essere anche negativi o nulli, che tipo di luogo geometrico individua tale equazione?

Rappresentalo nel piano cartesiano OPH descrivendo l'equazione in forma esplicita e aggiungendo al luogo geometrico il punto (0,0).

Calcola gli elementi caratteristici del luogo geometrico appena individuato.

 

 

[V Superiore - I Anno Uni] [Analisi 1] Determina il tuo BMI e considera la funzione che esprime l'altezza in funzione del peso, tenendo conto del significato effettivo delle variabili coinvolte.

Individua il dominio della funzione appena scritta. Essa ammette massimi o minimi? Giustifica la risposta senza effettuare calcoli e successivamente calcola la derivata di H=H(P). Scrivi l'equazione della retta tangente al grafico nel punto P_0 che corrisponde al tuo peso.

 

 

[Uni] [Analisi II] Considera la funzione \mbox{BMI}:\mathbb{R}^+\times\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+ e determinane il dominio in due variabili. Studiane le curve di livello individuandone la natura ed individua quella che corrisponde al tuo BMI: forniscine una parametrizzazione e calcola:

- il versore tangente nel punto corrispondente al tuo peso;

- la curvatura nel medesimo punto.

 

Namasté!

Fulvio Sbranchella (a.k.a. Agente Ω)

 

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