Problemi di Probabilità

Questa lezione si propone di dare uno schema per risolvere i problemi di probabilità. È pensata in particolar modo per chi si è affacciato da poco al Calcolo delle Probabilità di uno o più eventi e, com'è stato per la stragrande maggioranza degli studenti, ha difficoltà a capire quale sia "la giusta formula da applicare".

 

Per la spiegazione dettagliata (accompagnata da esempi) di ogni concetto teorico c'è un'apposita lezione dedicata a portata di un click! Wink

 

 

Come risolvere i problemi di Probabilità

 

1) Leggere con attenzione il testo, cercando di avere ben chiaro di cosa, o meglio di quale evento si deve calcolare la probabilità. Sostanzialmente i casi che possiamo incontrare sono i seguenti:

 

 

1.1) calcolare la probabilità di un solo evento E:

 

- se l'evento è certo: P(E)=1

 

- se l'evento è impossibile: P(E)=0

 

- se l'evento è probabile: P(E)=\frac{casi \ favorevoli}{casi \ possibili}.

 

 

1.2) Calcolare la probabilità del complementare di un evento E:

 

P(E^C)=1-P(E)

 

 

1.3) Calcolare la probabilità del verificarsi di un evento E composto da due eventi E_1 ed E_2.

 

Qua la faccenda si fa leggermente più delicata e dobbiamo distinguere due casi dati dall'osservazione del connettivo logico (e od oppure) mediante il quale sono connessi tra loro i due eventi E_1 ed E_2 e ricordare che, in simboli:

 

- la probabilità che si verifichi E_1 oppure E_2 si esprime come: P(E_1 \cup E_2).

 

- La probabilità che si verifichi E_1 e E_2 si esprime come: P(E_1 \cap E_2).

 

Fatto ciò si ricorre ad una delle due formule in base al caso in cui ci troviamo

 

P(E_1 \cup E_2)=P(E_1)+P(E_2)-P(E_1 \cap E_2) [Teorema della Probabilità Totale]

 

ovviamente se i due eventi sono incompabili, cioè se non si possono verificare contemporaneamente P(E_1 \cap E_2)=0, avremo:

 

P(E_1 \cup E_2)=P(E_1)+P(E_2)

 

P(E_1 \cap E_2)=P(E_1) \cdot P(E_2|E_1) [Teorema della Probabilità Composta]

 

Se i due eventi sono indipendenti, cioè il verificarsi dell'uno non influisce sul calcolo della probabilità dell'altro: P(E_2|E_1)=P(E_2) da cui:

 

P(E_1 \cap E_2)=P(E_1) \cdot P(E_2).

 

Attenzione perché molto spesso si dice erroneamente che al connettivo oppure si sostituisce il segno di addizione, al connettivo e il segno di moltiplicazione. Questo è vero solo a patto che i due eventi siano incompatibili nel primo caso ed indipendenti nel secondo, ma non è detto che sia sempre così!  

 

 


 

 

Se avete ben chiari i concetti e la differenza tra eventi compatibili/incompatibili e compatibili dipendenti/compatibili indipendenti la faccenda si fa ancora più semplice e con l'aiuto della seguente tabellina sarà davvero molto semplice procedere alla risoluzione di un problema:

 

Schema di risoluzione dei problemi di Probabilità

 

 


 

Con la speranza che ora le vostre idee siano un po' più chiare, vi saluto! Vi ricordo che per qualsiasi domanda potete aprire una discussione nel Forum e se avete bisogno di esercizi accuratamente svolti non esitate ad utilizzare la barra di ricerca! Laughing

 

Buona Probabilità a tutti!

Giuseppe Carichino

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