Probabilità condizionata e teorema di Bayes

Rieccoci qui pronti ad approfondire il concetto di Probabilità condizionata e ad enunciare e raccogliere i frutti del teorema di BayesLaughing

 

Probabilità condizionata di un evento rispetto a un altro

 

Siano E_1 ed E_2 due eventi dipendenti. Abbiamo già visto che:

 

P(E_1 \cap E_2)=P(E_1) \cdot P(E_2 | E_1)

 

P(E_2 | E_1) si dice probabilità condizionata ed esprime la probabilità che si verifichi l'evento E_2 nell'ipotesi in cui si sia verificato l'evento E_1.

 

Dalla precedente definizione si evince che:

 

(\spadesuit) \ \ P(E_2|E_1)=\frac{P(E_1 \cap E_2)}{P(E_1)}

 

 

È quanto mai utile fare le seguenti osservazioni.

 

 

1) La formula appena vista per il calcolo della probabilità condizionata ha senso a patto che P(E_1) \textgreater 0. Se fosse P(E_1)=0, ovvero se l'evento E_1 è impossibile, (\spadesuit) perderebbe di significato, come del resto perderebbe di significato il problema di determinare la probabilità che si verifichi E_2 sapendo che si è verificato E_1 sapendo che E_1 è un evento che non si può verificare.

 

 

2) Se E_1 ed E_2 sono due eventi indipendenti, cioè il verificarsi dell'uno non influisce sul verificarsi dell'altro, allora P(E_2|E_1)=P(E_2)

 

 

3) In generale P(E_2|E_1) \neq P(E_1|E_2)

 

 

4) Conoscendo P(E_2|E_1) allora: P(E_2^C | E_1)=1-P(E_2|E_1) dove E_2^C indica il complementare dell'evento E_2

 

Esempio sulla probabilità condizionata

 

A) Nel gioco del lotto calcolare la probabilità che, nelle prime due estrazioni, vengano fuori due numeri multipli di 5.

 

SoluzioneIndicati con:

 

E_1 l'evento: "il primo numero estratto è un multiplo di 5"

 

E_2: "il secondo numero estratto è un multiplo di 5"

 

dobbiamo calcolare P(E_1 \cap E_2). Poiché i due eventi sono dipendenti, si ha che:

 

P(E_1 \cap E_2)=P(E_1) \cdot P(E_2 | E_1)

 

Ora, nel gioco del lotto abbiamo 90 palline (casi possibili nella prima estrazione) numerate da 1 a 90, quindi i numeri multipli di 5 sono:

 

\{5, \ 10, \ 15, \ 20, \ 25, \ 30, \ 35, \ 40, \ 45, \ 50, \ 55, \ 60, \ 65, \ 70, \ 75, \ 80, \ 85, \ 90 \}

 

da cui ne segue che:

 

P(E_1)=\frac{\mbox{casi favorevoli}}{\mbox{casi possibili}}=\frac{18}{90}=\frac{1}{5}

 

Mentre:

 

P(E_2 | E_1)=\frac{17}{89}

 

in quanto nella seconda estrazione le palline tra cui estrarre si riducono a 89 e, essendo già stato estratto un multiplo di 5, i casi favorevoli si riducono a 17. 

 

Pertanto:

 

P(E_1 \cap E_2)=P(E_1) \cdot P(E_2 | E_1) = \frac{1}{5} \cdot \frac{17}{89} = \frac{17}{445} \simeq 0,038

 

Teorema di Bayes

 

Siano E_1 ed E_2 due eventi dipendenti. Abbiamo già ricordato che:

 

P(E_1 \cap E_2) = P(E_1) \cdot P(E_2|E_1)

 

o analogamente

 

P(E_1 \cap E_2) = P(E_2) \cdot P(E_1|E_2)

 

Osservando che le precenti equazioni hanno il primo membro uguale, possiamo eguagliare il secondo avendo:

 

P(E_2) \cdot P(E_1 | E_2) = P(E_1) \cdot P(E_2|E_1)

 

da cui:

 

P(E_1 | E_2) = \frac{P(E_1) \cdot P(E_2|E_1)}{P(E_2)}

 

oppure

 

P(E_2 | E_1) = \frac{P(E_2) \cdot P(E_1|E_2)}{P(E_1)}

 

Le formule appena viste prendono il nome di teorema di Bayes (dal cognome del matematico che le formulò) e ovviamente si sceglie di utilizzare l'una o l'altra in base ai dati che si conoscono. È utile sapere che, generalmente, negli esercizi, per il calcolo della quantità a denominatore si ricorre al teorema della probabilità assoluta.

 

Esempio sul teorema di Bayes

 

B) Si hanno due monete di cui la prima ha una testa ed una croce, mentre la seconda ha una testa su entrambi i lati. Si sceglie a caso una moneta e la si lancia, ottenendo testa come risultato. Qual è la probabilità che si sia scelta la seconda moneta? 

 

Svolgimento: iniziamo col distinguere i vari eventi che entrano in gioco. Siano:

 

E_1 l'evento: "si è scelta la prima moneta"

 

E_2: "si è scelta la seconda moneta"

 

A l'evento: "dopo il lancio si è ottenuta testa"

 

e onde evitare di commettere errori chiediamoci cosa dobbiamo calcolare. La domanda fatta dal problema è semplice. Ci chiede infatti di calcolare la probabilità di aver scelto la seconda moneta sapendo però che dopo il lancio si è ottenuta testa. In simboli, dobbiamo calcolare P(E_2 | A). Per il teorema di Bayes:

 

P(E_2 | A)=\frac{P(A|E_2) \cdot P(E_2)}{P(A)} \overbrace{=}^{(*)}\frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{3}{4}}=\frac{2}{3} 

 

(*) in quanto ottenere testa sapendo che si è scelta la seconda moneta (che ha due teste) è un evento certo e quindi P(A|E_2)=1, P(E_2)=\frac{1}{2} in quanto abbiamo due possibili scelte e P(A)=\frac{3}{4} in quanto le monete hanno 4 facce (casi possibili) di cui tre hanno testa (casi favorevoli).

 

Notate che si avremmo potuto calcolare P(A) ricorrendo al teorema della probabilità totale, secondo il quale:

 

P(A)=P(E_1) \cdot P(A|E_1) + P(E_2) \cdot P(A|E_2) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{4}+\frac{1}{2} = \frac{3}{4}

 

in quanto: P(E_1)=P(E_2)=\frac{1}{2} e P(A|E_1), ovvero la probabilità di ottenere testa lanciando la prima moneta è pari ad \frac{1}{2} avendo la prima moneta su una faccia testa e sull'altra croce.

 

 


 

Per questa lezione è davvero tutto! Vi ricordiamo (come sempre) che per qualsiasi problema potete fare la vostra domanda sul Forum, ed utilizzando l'apposita barra di ricerca troverete un sacco di esercizi accuratamente svolti.

 

Buona Probabilità a tutti!

Giuseppe Carichino

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