Teorema della probabilità assoluta

In questa lezione enunceremo e faremo qualche esempio su quello che in teoria della probabilità è conosciuto col nome di teorema della probabilità assoluta.

 

Premetto che i risultati che seguiranno sono rivolti ad un pubblico di studenti universitari e/o studenti più volenterosi di scuola superiore. Tongue out

 

Prima di procedere vi consiglio di tenere ben presente il concetto di spazio campionario visto nella lezione precedente.

 

Teorema della probabilità assoluta

 

Sia \Omega uno spazio campionario e siano A_1, \ A_2, \ ... \ A_n una serie di eventi tali da formare una partizione di \Omega, ovvero:

 

- sono a due a due disgiunti, cioè comunque si prendano due di essi la loro intersezione è vuota. In simboli: A_i \cap A_j = \emptyset \ \  \forall i,j \in \{1,2,...n\}, \ i \neq j.

 

- La loro unione coincide con \Omega, ovvero: \cup_{i=1}^{n} A_i = \Omega.

 

Sia B un qualsiasi evento dipendente dagli eventi A_1, \ A_2, \ ... \ A_n.

 

Allora:

 

P(B)=P(A_1) \cdot P(B|A_1) + P(A_2) \cdot P(B|A_2) + ..... + P(A_n) \cdot P(B|A_n)

 

dove, in generale, P(B|A_i) indica la probabilità condizionata che si verifichi B sapendo che si è verificato A_i.

 

Esempi sul teorema della probabilità assoluta

 

1) In una popolazione il 15 \% degli individui è a rischio di una certa malattia. Si sa che la probabilità di ammalarsi è pari a 0,2 per i soggetti a rischio e 0,06 per i soggetti rimaneneti. Calcolare la probabilità di ammalarsi dell'intera popolazione.

 

Svolgimento: innanzitutto lo spazio campionario \Omega in questo caso è dato dagli individui della popolazione.

 

Indichiamo con A l'evento "si è a rischio di ammalarsi" e con B l'evento "ci si ammala". Dobbiamo calcolare P(B) sapendo che:

 

- il 15 \% è a rischio di ammalarsi, cioé P(A)=0.15, da cui ne segue che gli individui non a rischio sono l'85 \%, ovvero: P(A^C)=1-P(A)=0,85.

 

- La probabilità di ammalarsi, sapendo che un soggetto è a rischio è 0,2 ovvero P(B|A)=0,2.

 

- La probabilità di ammalarsi per i soggetti rimanenti è dello 0,06. Come esprimiamo questo fatto? Basta vedere chi sono "i soggetti rimanenti". Essi sono quelli che non sono a rischio e che quindi possiamo indicare con A^C, ovvero col complementare dell'evento A, da cui P(B|A^C)=0,06

 

Osservando che gli eventi A ed A^C formano una partizione dello spazio campionario e B è un evento che dipende da entrambi, per il teorema della probabilità assoluta

 

P(B)=P(A) \cdot P(B|A) + P(A^C) \cdot P(B|A^C) = 0.15 \cdot 0.2 + 0,85 \cdot 0,06 = 0.03 + 0.051 = 0.081 = 8,1 \%

 

Ovvero l'intera popolazione ha l' 8,1 \% di probabilità di ammalarsi.

 

 

2) Siano date due urne U_1 ed U_2, la prima delle quali contiene palline bianche in proporzione nel 60\% mentre la seconda nella proporzione del 70\%. Si sa inoltre che l'urna U_1 contiene il triplo delle palline dell'urna U_2. Si mettono in una stessa urna tutte le palline e se ne estrae una. Qual è la probabilità che essa sia bianca?

 

Svolgimento: lo spazio campionario \Omega è dato dall'insieme di tutte le palline delle due urne che possono essere bianche o non bianche

 

Detto B l'evento: "si estrae una pallina bianca", dobbiamo calcolare P(B) sapendo che P(B|A_1) = 0,6 e che P(B|A_2)=0,7, dove A_1 ed A_2 indicano rispettivamente gli eventi: "la pallina proviene dall'urna U_1" e "la pallina proviene dall'urna U_2"  .

 

Inoltre il testo del problema ci dice che la prima urna contiene il triplo delle palline della seconda, ovvero sul totale, cioè sul 100 \% delle palline, il 75\% saranno palline della prima urna, il restante 25 \% della seconda. In simboli:

 

P(A_1)=0,75, P(A_2)=0,25

 

Poiché, ovviamente A_1 ed A_2 formano una partizione dello spazio campionario \Omega, per il teorema della probabilità assoluta

 

P(B)=P(A_1) \cdot P(B|A_1) + P(A_2) \cdot P(B|A_2) = 0,75 \cdot 0,6 + 0,25 \cdot 0,7 = 0,45 + 0,175 = 0,625 = 62.5 \%

 

 


 

Per questa lezione è davvero tutto! Nella prossima approfondiremo meglio il concetto di probabilità condizionata e daremo enunciato e svariati esempi sul teorema di Bayes.

 

Buona Probabilità a tutti!

Giuseppe Carichino

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