Eventi dipendenti e indipendenti

Nella precedente lezione abbiamo visto che, ricorrendo al teorema della probabilità totale è possibile calcolare la probabilità di due eventi legati tra loro dalla congiunzione "oppure". Se i due eventi sono legati tra loro dalla congiunzione "e" il modo di procedere sarà diverso e a tal fine introdurremo le nozioni di eventi dipendenti e di eventi indipendenti.

 

Eventi dipendenti e indipendenti tra loro

 

Supponiamo di trovarci di fronte a due eventi compatibili (cioè che possono verificarsi contemporaneamente) e di dover calcolare la probabilità che si verifichi sia l'uno che l'altro. Ci chiederemo allora:

 

"il verificarsi di un evento influisce sulla probabilità di verificarsi dell'altro?"

 

In base alla risposta che daremo a questa domanda si parlerà di eventi (compatibili) dipendenti ed eventi (compatibili) indipendenti.

 

Molti libri di testo omettono la parola "compatibili" quando parlano di eventi dipendenti o indipendenti, dando quindi per scontato che tali eventi siano innanzitutto compatibili. A pensarci bene non è difficile dedurne il motivo. Molto semplicemente ha senso chiedersi se il verificarsi di un evento ha conseguenze sul calcolo della probabilità del verificarsi dell'altro solo se i due eventi possono interagire tra loro o meglio solo se possono verificarsi contemporaneamente. Se infatti ognuno avviene per "conto proprio" (eventi incompatibili) allora in nessun modo potranno interferire tra loro e quindi non avrebbe alcun senso chiedersi se sono dipendenti o indipendenti.

 

Definizioni di eventi dipendenti e di eventi indipendenti

 

Due eventi (compatibili) E_1 ed E_2 si dicono indipendenti se il verificarsi dell'uno non influisce sul calcolo della probabilità del verificarsi dell'altro.

 

Due eventi (compatibili) E_1 ed E_2 si dicono dipendenti se il verificarsi dell'uno influisce sul calcolo della probabilità del verificarsi dell'altro.

 

Calcolo della probabilità di due eventi dipendenti o indipendenti

 

La probabilità dell'intersezione di due eventi indipendenti E_1 ed E_2 è data dal prodotto delle probabilità di ciascun evento, ovvero:

 

P(E_1 \cap E_2)=P(E_1) \cdot P(E_2)

 

Se invece siamo di fronte a due eventi dipendenti, sappiamo che il verificarsi dell'uno (ad esempio di E_1) influisce sul calcolo del verificarsi dell'altro (ad esempio E_2). Si parlerà in tal caso di probabilità condizionata (per i più tenaci approfondiremo meglio il concetto in un'altra lezione), si indica con P(E_2 | E_1) e si legge "probabilità che si verifichi E_2 sapendo che si è verificato E_1.

 

La probabilità dell'intersezione di due eventi dipendenti E_1 ed E_2 è data dal prodotto della probabilità di un evento per la probabilità condizionata dell'altro, cioè:

 

P(E_1 \cap E_2)=P(E_1) \cdot P(E_2|E_1)

 

Ovviamente i ruoli di E_1 e di E_2 possono essere invertiti, cioè:

 

P(E_1 \cap E_2)=P(E_2) \cdot P(E_1|E_2)

 

si utilizza l'una o l'altra formula in base ai dati forniti dal problema

 

Quasi sicuramente avrete le idee un po' confuse...non preoccupatevi! È assolutamente normale. Purtroppo all'inizio è necessario mettere un po' di carne sul fuoco, ma coi seguenti esempi sarà tutto più chiaro. Wink

 

Esempi sull'indipendenza e sulla dipendenza tra eventi

 

1) Sia data un'urna contenente 10 palline numerate da 1 a 10. Potendo estrarre una pallina per volta e supponendo che dopo ogni estrazione la pallina venga rimessa nell'urna (estrazione con reinserimento), calcolare la probabilità di estrarre la pallina numero 5 seguita dalla pallina numero 6.

 

Iniziamo col distinguere i due eventi:

 

E_1: "si estrae la pallina numero 5" ed E_2: "si estrae la pallina numero 6".

 

Dobbiamo calcolare P(E_1 \cap E_2). Chiediamoci: "il verificarsi di uno influisce sul verificarsi dell'altro?" Poiché l'estrazione avviene con restituzione, la risposta è negativa e quindi

 

P(E_1 \cap E_2)=P(E_1) \cdot P(E_2) = \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10} = \frac{1}{100} = 0,01 = 1\%

 

 

2) Consideriamo lo stesso esempio di prima supponendo però in questo caso che l'estrazione avvenga senza reinserimento, cioè che una volta estratta la pallina essa non venga rimessa nell'urna.

 

In questo caso gli eventi E_1: "si estrae la pallina numero 5" ed E_2: "si estrae la pallina numero 6" sono dipendenti, in quanto non rimettendo la prima pallina estratta nell'urna il verificarsi dell'evento E_2 è stato influenzato dall'evento E_1, quindi:

 

P(E_1 \cap E_2)=P(E_1) \cdot P(E_2 | E_1) \overbrace{=}^{(*)} \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{9}= \frac{1}{90} \simeq 0.011 = 1,1 \%

 

(*) \ \ P(E_1)=\frac{1}{10} in quanto abbiamo un caso favorevole su 10, mentre P(E_2)=\frac{1}{9} poiché i casi possibili si riducono a 9 non essendo stata reimbussolata la prima pallina.

 

Osservazione (probabilità condizionata con eventi indipendenti)

 

Se due eventi sono indipendenti, la probabilità condizionata di un evento rispetto ad un altro coincide con la probabilità dell'evento stesso

 

P(E_2|E_1)=P(E_2)

 

In altre parole la probabilità che si verifichi E_2 sapendo che si è verificato E_1 è uguale alla probabilità che si verifichi E_2.

 

Teorema della Probabilità Condizionata

 

Alla luce di ciò possiamo enunciare quello che si conosce col nome di teorema della Probabilità Condizionata e che si utilizza per calcolare la probabilità di due eventi uniti dalla congiunzione "e":

 

P(E_1 \cap E_2)=P(E_1) \cdot P(E_2|E_1)

 

che racchiude entrambi i casi visti in precedenza.

 

 


 

Per questa lezione è tutto. Nelle prossime due lezioni vedremo il teorema della probabilità totale per poi approfondire meglio il concetto di probabilità condizionata. In caso di dubbi, perplessità o problemi insormontabili, puoi sempre porre la tua domanda sul Forum o ancor meglio puoi utilizzare l'apposita barra di ricerca. Un mucchio di esercizi accuratamente svolti aspettano solo te!

 

Buona Probabilità a tutti!

Giuseppe Carichino

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