Eventi compatibili, incompatibili e complementari

Nella precedente lezione abbiamo visto come calcolare la probabilità del verificarsi di un solo evento. Supponiamo ora di voler calcolare la probabilità del verificarsi di due eventi. Qui la faccenda è un po' più delicata, ma nulla di difficile se si afferrano bene i concetti che vedremo in questa e nella prossima lezione.

 

Eventi compatibili ed eventi incompatibili

 

Due eventi E_1 ed E_2 si dicono incompatibili quando il verificarsi dell'uno esclude il verificarsi dell'altro, cioè quando i due eventi non possono verificarsi contemporaneamente.

 

Due eventi E_1 ed E_2 si dicono compatibili quando il verificarsi dell'uno non esclude il verificarsi dell'altro e i due eventi possono verificarsi contemporaneamente.

 

Esempi su eventi compatibili e incompatibili

 

Vediamo subito qualche esempio che sicuramente vi farà capire appieno le due definizioni appena enunciate. Cerchiamo di stabilire se gli eventi proposti sono compatibili o incompatibili:

 

a. estraendo una carta da un mazzo di carte: E_1: "esce una carta di spade", E_2: "esce una carta di coppe".

 

b. Giocando alla roulette: E_1: "esce un numero compreso tra 12 e 20", E_2: "esce il colore rosso".

 

c. Estraendo una carta da un mazzo di carte: E_1: "esce una figura", E_2: "esce una carta di denari".

 

Soluzione: basta chiedersi: "i due eventi possono verificarsi contemporaneamente?"

 

a. Ovviamente no, in quanto una carta o è di spade o è di coppe. I due eventi sono dunque incompatibili.

 

b. Nella roulette i numeri rossi e neri sono alternati, quindi fra 12 e 20 vi saranno sicuramente dei numeri rossi. Ne segue che i due eventi sono compatibili in quanto possono verificarsi contemporaneamente ovvero la pallina può fermarsi su un numero rosso compreso tra 12 e 20.

 

c. Anche qui, poiché in un mazzo di carte vi sono tre figure di denari i due eventi si possono verificare contemporaneamente e quindi sono compatibili.

 

Calcolo della probabilità di due eventi compatibili o incompatibili

 

La probabilità dell'unione due eventi incompatibili è uguale alla somma delle probabilità di ciascun evento cioè:

 

P(E_1 \cup E_2)=P(E_1)+P(E_2)


La probabilità dell'unione di due eventi compatibili è uguale alla somma delle probabilità di ciascun evento diminuita della probabilità dell'evento comune E_1 \cap E_2, ovvero

 

P(E_1 \cup E_2)=P(E_1)+P(E_2)-P(E_1 \cap E_2)

 

 

Come di consueto, sotto con gli esempi! :)

 

 

1) Consideriamo il lancio di un dado e chiamiamo E_1 l'evento: "esce il numero 1" ed E_2 l'evento: "esce il numero 6"

 

I due eventi sono incompatibili, cioè il verificarsi di uno dei due esclude necessariamente il verificarsi dell'altro, pertanto la probabilità dell'evento E: "esce il numero 1 oppure esce il numero 5" è data dalla somma delle probabilità dei due eventi. Essendo:

 

P(E_1)=P(E_2)=\frac{1}{6}

 

allora: P(E)=P(E_1)+P(E_2)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}

 

 

2) Qual è la probabilità di estrarre da un mazzo di 40 carte un re o una carta di denari?

 

Indichiamo con E_1 l'evento "viene estratta una carta di denari" e con E_2 l'evento: "viene estratto un re".

 

I due eventi sono compatibili in quanto può accadere che la carta estratta sia il re di denari e quindi i due eventi si verifichino contemporaneamente. Per calcolare la probabilità richiesta calcoliamo quindi:

 

P(E_1)=\frac{10}{40}=\frac{1}{4} in quanto abbiamo 10 casi favorevoli su 40 possibili.

 

P(E_2)=\frac{4}{40}=\frac{1}{10} poiché i re sono 4.

 

P(E_1 \cap E_2) = \frac{1}{40} cioè la probabilità che gli eventi si verifichino contemporaneamente.

 

Per quanto detto prima allora la probabilità richiesta è data da:

 

P(E_1)+P(E_2)-P(E_1 \cup E_2) = \frac{1}{4}+\frac{1}{10}-\frac{1}{40}=\frac{10+4-1}{40}=\frac{13}{40}=0.325=32,5 \%.

 

Il teorema della Probabilità Totale

 

Una piccola osservazione: se due eventi E_1 ed E_2 sono incompatibili abbiamo già detto che non possono verificarsi contemporaneamente. Questo fatto in simboli si esprime con:

 

E_1 \cap E_2 = \emptyset e quindi P(E_1 \cap E_2) = 0

 

Alla luce di ciò possiamo enunciare quello che prende il nome di teorema della Probabilità Totale:

 

P(E_1 \cup E_2)=P(E_1)+P(E_2)-P(E_1 \cap E_2)

 

che racchiude in sé entrambi i risultati visti in precedenza, cioè si utilizza per calcolare la probabilità sia di due eventi compatibili sia di due eventi incompatibili.

 

Nota bene: si ricorre al teorema della probabilità totale quando si può esprimere il problema con la congiunzione "oppure", cioè quando dobbiamo calcolare la probabilità che si verifichi un evento oppure un altro. 

 

Eventi Complementari

 

Due eventi si dicono complementari quando il verificarsi dell'uno esclude il verificarsi del secondo ma uno dei due si verificherà di sicuro.

 

Consideriamo ad esempio il lancio di una moneta. Com'è facilmente intuibile possono prsentarsi solo due casi: o vien fuori testa o vien fuori croce. I due eventi sono dunque complementari in quanto uno dei due si verificherà per forza ed uno esclude l'altro.

 

Calcolo della probabilità di eventi complementari

 

Siano E_1 ed E_2 due eventi complementari. Allora:


P(E_2)=1-P(E_1) 


Apprezzerete al meglio questo risultato col seguente esempio: la probabilità che un italiano sia pari o più alto di due metri è dello 0.3\%. Qual è la probabilità che un italiano sia più basso di due metri?

 

Consideriamo gli eventi: E_1: "italiano pari o più alto di due metri" ed E_2: "italiano più basso di due metri". Sappiamo che P(E_1)=0,3\% = \frac{3}{1000}. Non avendo altri dati a disposizione l'unico modo per risolvere il problema è osservare che i due eventi sono complementari (in quanto una persona è pari o più alta oppure è più bassa di due metri), quindi

 

P(E_2)=1-P(E_1)=1-\frac{3}{1000}=\frac{997}{1000}=99,7\%.

 

Nota bene: per come li abbiamo definiti due eventi complementari sono incompatibili (in quanto non possono verificarsi contemporaneamente) ma non è detto che due eventi imcompatibili siano complementari. Ricordate bene infatti che, due eventi sono complementari quando l'uno esclude l'altro ma si deve per forza verificare uno dei due!

 

Se prendiamo ad esempio un sacchetto contenente palline rosse, verdi e azzurre e consideriamo gli eventi: E_1: "viene estratta una pallina verde" ed E_2: "viene estratta una pallina rossa", è vero che il verificarsi di un evento esclude l'altro, ma non è detto che si verifichi per forza uno dei due in quanto potrebbe essere estratta una pallina azzurra. Quindi i due eventi sono sì incompatibili (in quanto non si possono verificare contemporaneamente) ma non sono complementari.

 

Notazione: Molto spesso, dato un evento E, il suo complementare si indica con E^C dove la C all'esponente sta proprio ad indicare che è l'evento Complementare e per quanto detto:

 

P(E^C)=1-P(E)

 

 


 

Per ora è tutto! Nella prossima lezione introdurremo i concetti di eventi dipendenti e indipendenti e vedremo come calcolarne la probabilità. Cool Dubbi, problemi, perplessità? Utilizza l'apposita barra di ricerca tramite la quale potrai accedere ad un sacco di esercizi svolti e se non dovesse bastare chiedi aiuto nel Forum!

 

Buona Probabilità a tutti!

Giuseppe Carichino

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