Probabilità di un evento

Iniziamo l'avventura nell'affascinante mondo del calcolo delle Probabilità introducendo innanzitutto il concetto di evento per poi vedere come si calcola la probabilità che un solo evento si verifichi.

 

Evento casuale, certo o impossibile

 

Si parla di eventi probabili o improbabili quando non si è sicuri se essi si verificheranno. Quando lanciamo in aria una moneta, da cosa dipende se dopo la caduta uscirà testa oppure croce? I fattori sono molteplici (dipenderà da come la lanciamo, dall'altezza del lancio, dalla presenza o meno di vento...). Insomma dal momento che non siamo in grado di valutare e calcolare con esattezza tutti questi fattori, il risultato è impossibile da prevedere e diremo che è altrettanto probabile che esca testa quanto che venga croce.

 

Possiamo quindi dire che: un evento E si dice casuale (o aleatorio) quando il suo verificarsi dipende unicamente dal caso.

 

 

Bisogna prestare molta attenzione al fatto che l'evento che stiamo prendendo in esame dipenda dal caso! Se infatti consideriamo l'evento "nel lancio di un dado esce un numero minore di sette", è evidente che esso si verificherà sempre, se invece consideriamo "nel lancio di un dado esce un numero maggiore di 20" siamo sicuri che tale evento non potrà mai verificarsi.

 

Diremo quindi che:

 

un evento E è certo quando è possibile stabilire con assoluta certezza che esso si verificherà, e che è impossibile quando non potrà mai realizzarsi.

 

Calcolo della probabilità di un evento casuale, certo e impossibile

 

Consideriamo l'evento E: "nel lancio di un dado esce il numero 5" e ci chiediamo quale sia la probabilità che tale evento si verifichi. Poiché i possibili esiti (casi possibili) del lancio sono 6 ovvero i numeri 1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6 ed uno solo è il caso favorevole (uscita del numero 5), la probabilità dell'evento è P(E)=\frac{1}{6}.

 

Generalizzando possiamo dare la seguente definizione: la probabilità di un evento E è data dal rapporto tra il numero dei casi favorevoli e il numero dei casi possibili, cioè:

 

P(E)=\frac{casi \ favorevoli}{casi \ possibili}

 

- Se un evento è certo, tutti i casi sono favorevoli. Allora essendo "casi possibili = casi favorevoli" si ha che P(E_{certo})=1

 

- Se un evento è impossibile non vi sono casi favorevoli, dunque P(E_{impossibile})=0

 

Inoltre, tenete sempre ben presente che la probabilità di un qualsiasi evento (o di una serie di eventi) è sempre un numero compreso tra zero e uno, ovvero:

 

0\leq P(E) \leq 1

 

quindi se in un esercizio dovresse venirvi fuori un numero negativo o maggiore di uno, ricontrollate i conti e il procedimento.

 

Come scrivere la probabilità di un evento in percentuale

 

Per ottenere la probabilità di un evento in forma percentuale basta moltiplicare per cento il valore decimale ottenuto.

 

Calcoliamo ad esempio in forma percentuale la probabilità dell'evento "nel lancio di un dado esce un numero dispari". I casi possibili sono sei; i casi favorevoli sono tre (cioè l'uscita dei numeri 1, 3 o 5), pertanto 

 

P(E)=\frac{casi \ favorevoli}{casi \ possibili}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=0,5=50\%

 

Esempi sul calcolo della probabilità di un evento

 

Ora tocca a voi! Provate a svolgere i seguenti esercizi, di cui proponiamo la soluzione Laughing

 

1) In un mazzo di carte napoletane (40 carte) qual è la probabilità di estrarre il due di denari?

 

Soluzione: detto E l'evento: "viene estratto il due di denari", abbiamo che:

 

P(E)=\frac{casi \ favorevoli}{casi \ possibili}

 

Il caso favorevole è uno solo (in quanto nel mazzo di carte vi è un solo due di denari), mentre i casi possibili sono quaranta, quindi P(E)=\frac{1}{40}.

 

2) Calcolare la probabilità (in forma percentuale) che nel gioco della tombola:

 

a. esca il numero 10

 

b. esca un numero divisibile per cinque

 

c. esca un numero pari compreso tra uno e undici

 

Soluzione: nel gioco della tombola i casi possibili sono tanti quanti i numeri che possono essere estratti, cioè 90. Non dobbiamo fare altro che calcolare il numero dei casi favorevoli in ogni punto proposto.

 

a. un solo caso favorevole (vi è un solo numero 10 fra i 90 bussolotti) quindi la probabilità dell'evento è \frac{1}{90}\simeq 0.011 = 1,1 \%.

 

b. fra i 90 numeri quelli divisibili per 5 sono: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, ovvero abbiamo 18 casi favorevoli, quindi \frac{18}{90}=0,2=20 \% è la probabilità cercata.

 

c. i numeri pari compresi tra 1 e 11 sono 2, 4, 6, 8, 10, cioè 5 casi favorevoli (su 90 possibili). La probabilità di tale evento è quindi \frac{5}{90}\simeq 0.056 = 5,6\% 

 

 


 

Per ora è tutto! Nelle prossime lezioni faremo un passo avanti e vedremo come effettuare il calcolo della probabilità di due o più eventi. Laughing

 

Buona Probabilità a tutti!

Giuseppe Carichino

Lezione successiva


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