Coefficiente binomiale

In questa lezione parleremo del coefficiente binomiale; ne daremo la definizione, capiremo cosa indica nel concreto, enunceremo e dimostreremo le principali proprietà e, dulcis in fundo, vedremo le sue principali applicazioni.

 

Coefficiente binomiale

 

Siano n e k due numeri naturali. Si definisce coefficiente binomiale e si indica con \dbinom{n}{k}:

 

\dbinom{n}{k} = \left\{ \begin{matrix} \frac{n!}{k!(n-k)!} & se & 0  \leq  k  \leq n \\ \\ 0 & se & 0  \leq n \textless k \end{matrix}

 

dove n! e k! indicano il fattoriale dei naturali n e k rispettivamente.

 

Esempi sul coefficiente binomiale

 

1) \dbinom{5}{2}=\frac{5!}{2!(5-2)!}=\frac{5!}{2! \cdot 3!}= 10

 

2) \dbinom{3}{7}=0 in quanto (n=3) \textless (k=7)

 

Cosa indica concretamente il coefficiente binomiale?

 

Esso fornisce il numero di sottoinsiemi di k elementi che si possono formare a partire da un insieme che contiene n elementi. Così ad esempio, essendo:

 

\dbinom{5}{2}= 10

 

vuol dire che partendo da un insieme di 5 elementi possiamo formare 10 sottoinsiemi di 2 elementi ciascuno.

 

Principali applicazioni del coefficiente binomiale

 

1) Il coefficiente binomiale viene utilizzato per il calcolo delle combinazioni semplici.

 

2) Il binomio di Newton utilizza il coefficiente binomiale per esprimere lo sviluppo di una potenza di un binomio.

 

3) Il numero delle diagonali di un poligono convesso di n lati è dato da:

 

d=\dbinom{n}{2}-n=\frac{n(n-3)}{2}

 

Proprietà del coefficiente binomiale

 

P1) \dbinom{n}{0}=\dbinom{n}{n}=1

 

Dimostrazione

 

Per definizione: \dbinom{n}{0}=\frac{n!}{0!(n-0)!}=\frac{n!}{1\cdot n!}=1

 

Infatti per definizione di fattoriale 0!=1. Idem per l'altra. Provateci! Wink

 

 

P2) \dbinom{n}{1}=\dbinom{n}{n-1}=n

 

Dimostrazione

 

Partendo sempre dalla definizione di coefficiente binomiale si ha che:

 

\dbinom{n}{1}=\frac{n!}{1!(n-1)!}=\frac{n!}{1\cdot (n-1)!}\overbrace{=}^{(*)}\frac{1 \cdot 2 \cdot ... \cdot (n-1) \cdot n}{1 \cdot 2 \cdot ... \cdot (n-1)}=n

 

(*) Per definizione di fattoriale

 

 

P3) \dbinom{n}{k}=\dbinom{n}{n-k}

 

Dimostrazione

 

Sappiamo che:

 

\dbinom{n}{n-k}=\frac{n!}{(n-k)! \cdot [n-(n-k)]!}=\frac{n!}{(n-k)! \cdot (n-n+k)!}=\frac{n!}{(n-k)! k!}=

=\dbinom{n}{k}

 

 

P4) \dbinom{n}{k}=\dbinom{n-1}{k} + \dbinom{n-1}{k-1}

 

Dimostrazione

 

Iniziamo con lo sviluppare i due addendi a secondo membro:

 

\dbinom{n-1}{k}=\frac{(n-1)!}{k! \cdot (n-1-k)!}=\frac{(n-1)!}{\underbrace{k \cdot (k-1)!}_{k!} \cdot (n-k-1)!}

 

\dbinom{n-1}{k-1}=\frac{(n-1)!}{(k-1)! \cdot [n-1-(k-1)]!}=\frac{(n-1)!}{(k-1)! \cdot (n-k)!} =

=\frac{(n-1)!}{(k-1)! \cdot \underbrace{(n-k) \cdot (n-k-1)!}_{(n-k)!}}

 

Sommando:

 

\dbinom{n-1}{k} + \dbinom{n-1}{k-1}= \frac{(n-1)!}{k \cdot (k-1)! \cdot (n-k-1)!}+ \frac{(n-1)!}{(k-1)! \cdot (n-k) \cdot (n-k-1)!}=

 

=\frac{(n-k)(n-1)! + k(n-1)!}{k \cdot (k-1)! \cdot (n-k) \cdot (n-k-1)!}=\frac{(n-1)! [n-k+k]}{k \cdot (k-1)! \cdot (n-k) \cdot (n-k-1)!}=

 

=\frac{\overbrace{n(n-1)!}^{n!}}{\underbrace{k \cdot (k-1)!}_{k!} \cdot \underbrace{(n-k) \cdot (n-k-1)!}_{(n-k)!}}=\frac{n!}{k! (n-k)!}=\dbinom{n}{k}

 

 

P5) \sum_{k=0}^{n} \dbinom{n}{k} = 2^n

 

Dimostrazione

 

2^n = (1+1)^n \overbrace{=}^{(**)}=\sum_{k=0}^{n} \dbinom{n}{k} 1^k \cdot 1^{n-k} = \sum_{k=0}^{n} \dbinom{n}{k}

 

(**) Formula del binomio di Newton.

 

 


 

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Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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