Problemi d'urna nel Calcolo Combinatorio

Il Calcolo Combinatorio ha interessanti applicazioni al Calcolo delle Probabilità. Abbiamo già visto come risolvere i problemi di calcolo combinatorio e sappiamo che la probabilità di un evento è data dal rapporto fra il numero dei casi favorevoli e il numero dei casi possibili.

 

Bene! In molte situazioni il Calcolo Combinatorio consente di calcolare agevolmente il numero di casi, come potrete vedere negli esercizi che seguiranno tra poco.

 

 

Problemi d'urna con o senza ordine o reinserimento

 

Nel calcolo delle probabilità si dicono problemi d'urna quei problemi in cui vi sono una o più urne dalle quali bisogna estrarre una o più palline generalmente numerate, o che si possono ricondurre ad essi. È proprio in questi problemi che trova maggior applicazione l'utilizzo del Calcolo Combinatorio. Notate bene che non ho detto che sono gli unici in cui si fa ricorso al Calcolo Combinatorio: si possono presentare infatti moltissime altre situazioni...ho detto solo che sono quelli più citati dai libri scolastici, dai libri universitari e dai professori, ecco perché abbiamo deciso di dedicare loro qualche parola. Tongue out

 

In un problema d'urna l'ordine di estrazione delle palline può avere o meno importanza, inoltre l'estrazione può avvenire:

 

- con reinserimento (cioè dopo ogni estrazione la pallina viene rimessa nell'urna);

 

- senza reinserimento (dopo ogni estrazione la pallina non viene reimbussolata).

 

In base ai casi che si presenteranno, se fosse necessario ricorrere al Calcolo Combinatorio per il calcolo del numero dei casi, utilizzeremo:

 

1) SÌ ordine, SÌ reinserimento: disposizioni con ripetizione

 

2) SÌ ordine, NO reinserimento: disposizioni semplici

 

3) NO ordine, SÌ reinserimento: combinazioni con ripetizione

 

4) NO ordine, NO reinserimento: combinazioni semplici

 

Esempi sui problemi d'urna

 

1) Un'urna contiene 15 palline, delle quali 5 sono bianche, 5 sono blu e 5 verdi. Si calcoli la probabilità che in un'estrazione senza restituzione di 5 palline dall'urna si estraggano 3 palline di uno stesso colore ed una ciascuna degli altri due colori.

 

Svolgimento: sia E l'evento: "si estraggono 3 palline dello stesso colore e 2 ciascuna di ogni altro colore". Dobbiamo calcolare

 

P(E)=\frac{casi \ favorevoli}{casi \ possibili}

 

Il numero dei casi possibili è dato dal numero di modi che ci sono per estrarre k=5 palline da un'urna che ne contiene n=15. Poiché l'ordine con cui vengono estratte non ha importanza e l'estrazione avviene senza restituzione, il numero dei casi possibili è dato da:

 

C_{15,5}=\frac{15!}{5!(15-5)!}=\frac{15!}{5! \cdot 10!}=3003

 

Per quanto riguarda il numero dei casi favorevoli invece essi sono dati dal numero delle possibilità che si hanno per combinare tra loro: 3 palline scelte fra 5 (le tre dello stesso colore), 1 scelta tra altre 5, e un'altra ancora scelta tra altre 5 (le altre due, ciascuna di un altro colore). Il tutto andrà moltiplicato per 3 in quanto le possibilità sono:

 

- tre blu, una bianca, una verde;

- tre bianche, una blu, una verde;

- tre verdi, una bianca, una blu;

 

non ve ne sono altri visto che l'ordine di estrazione non ha importanza.

 

Anche per il calcolo del numero dei casi favorevoli ricorreremo alle combinazioni semplici poiché l'estrazione avviene senza restituzione e come già detto l'ordine non ha alcun effetto.

 

Casi \ favorevoli = 3 \cdot C_{5,3} \cdot C_{5,1} \cdot C_{5,1}= 3 \cdot \left( \begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}\right) \cdot \left(\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix}\right) \cdot \left( \begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix}\right)=3 \cdot 10 \cdot 5 \cdot 5 = 750

 

Quindi P(E)=\frac{750}{3003} \simeq 0,25

 

 

2) Calcolare la Probabilità che, nel gioco del Poker (Texas Hold'em), il mazziere ci distribuisca una coppia d'assi.

 

Svolgimento: dobbiamo calcolare P(E), dove E è l'evento: "ci viene distribuita una coppia d'assi". 

 

Il numero dei casi possibili è dato dal numero dei raggruppamenti contenenti k=2 elementi distinti che si possono formare partendo da un insieme che ne contiene 52. Pertanto:

 

Casi \ possibili = C_{52,2}=\frac{52!}{2!(52-2)!}=\frac{52!}{2 \cdot 50!}=\frac{51 \cdot 52}{2}=1326

 

Il numero dei casi favorevoli è dato dal modo di ricevere k=2 degli n=4 assi presenti nel mazzo, ovvero C_{4,2}=6 modi (l'ordine non ha importanza). Quindi

 

P(E)=\frac{casi \ favorevoli}{casi \ possibili} = \frac{6}{1326}=\frac{1}{221}=\simeq 0,004=0,4 \%

 

Questo esempio è suscita un tale interesse tra i giocatori occasionali che abbiamo pensato di dedicarvi un articolo del blog: probabilità di ricevere una coppia d'assi nel Texas Hold'em

 

 

3) Calcolare la Probabilità di fare un terno secco al lotto

 

Svolgimento: per fare un terno secco al lotto occorre giocare 3 numeri da 1 a 90 e sperare che tra i 5 numeri estratti vi siano i tre da noi giocati. 

 

I 5 numeri possono essere estratti in C_{90,5}=\frac{90!}{5!(90-5)!}=43949268 modi in quanto l'ordine non ha importanza e l'estrazione avviene senza restituzione.

 

Tra tutti questi casi sono favorevoli quelli in cui vengono estratti i 3 numeri da noi giocati più altri 2 qualsiasi tra gli 87 che rimangono nell'urna. I casi favorevoli sono quindi dati dal numero di raggruppamenti contenenti 2 elementi distinti che si possono formare a partire da un insieme che ne contiene 87, ovvero:

 

casi \ favorevoli = C_{87,2}=3741

 

La Probabilità di fare un terno secco è quindi: \frac{3741}{4394926}=\frac{1}{11748} \simeq 0,00008 = 0,008 \%

 

Un po' bassina.. non dite? Tongue out

 

 


 

Vi saluto ricordandovi che con l'aiuto della barra di ricerca potrete accedere ad una gran quantità di esercizi svolti per continuare il vostro allenamento e, se proprio ci fosse qualche dubbio atroce che vi assilla o qualche esercizio che proprio non vi torna, potete rivolgervi al Forum dove l'intera community sarà lieta di aiutarvi.

 

Buona Probabilità a tutti!

Giuseppe Carichino

 

Lezione precedente


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