Combinazioni con ripetizione

Trattiamo l'ultimo caso che capita di affrontare nella risoluzione dei problemi di Calcolo Combinatorio: parliamo di combinazioni con ripetizione e vediamo in quali casi bisogna ricorrere ad una combinazione con ripetizione. Prima però facciamo il punto della situazione...

 

Nella precedente lezione abbiam visto che le due caratteristiche principali delle combinazioni semplici sono: l'ordine degli elementi in ciascun raggruppamento non ha importanza; ogni elemento può comparire, in ogni gruppo, al massimo una volta, ovvero gli elementi di ogni raggruppamento sono distinti.

 

Come dovremmo comportarci se ci dovessimo trovare di fronte ad una situazione in cui un elemento può comparire più volte o meglio può essere ripetuto all'interno di un raggruppamento?

 

Quando usare le combinazioni con ripetizione

 

Sia dato un insieme di n elementi distinti e sia k \in \mathbb{N}. Tutti i raggruppamenti che si possono formare con k degli n elementi in modo che:

 

- ogni raggruppamento contenga esattamente k elementi;

 

- ogni elemento può essere ripetuto fino a k volte in ogni raggruppamento;

 

- ogni raggruppamento differisca dagli altri per almeno un elemento e non per l'ordine;

 

si dicono combinazioni con ripetizione di classe k e si indicano con C'_{(n,k)}, dove n indica il numero totale degli elementi dell'insieme di partenza e k il numero degli elementi che dovrà contenere ogni raggruppamento.

 

Il numero delle combinazioni con ripetizione è dato da

 

C'_{(n,k)}=\left(\begin{matrix} n+k-1 \\ k \end{matrix} \right)=\frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}

 

dove l'ultimo passaggio è giustificato dalla definizione di coefficiente binomiale.

 

 

A differenza delle combinazioni semplici, nel caso delle combinazioni con ripetizione non vi è alcuna limitazione su k, che può essere un qualsiasi intero positivo, anche maggiore di n.

 

Ad onor del vero le combinazioni con ripetizione non si presentano di frequente nei casi della vita reale e quindi negli esercizi, ragion per cui alcuni docenti decidono di tralasciarle. Lo stile YM però è diverso: il nostro obiettivo è prepararvi a 360^{o} per essere pronti in ogni situazione. :)

 

Esempio di applicazione delle combinazioni con ripetizione

 

Siano date, in un'urna, 20 palline numerate (da 1 a 20). Senza tener conto dell'ordine, in quanti modi possibili possono essere estratte 2 palline, supponendo che, dopo ogni singola estrazione, la pallina venga rimessa nell'urna?

 

Svolgimento: abbiamo un insieme formato da n=20 elementi distinti, di cui dobbiamo contare il numero di tutti i raggruppamenti formati da k=2 elementi scelti fra gli n dati. L'ordine di estrazione non conta, dunque ricorreremo alle combinazioni.

 

Semplici o con ripetizione?

 

La risposta è data dal testo del Problema. Poiché dopo ogni singola estrazione la pallina viene rimessa nell'urna, potrebbe accadere di estrarre nuovamente la stessa pallina. Di conseguenza uno stesso elemento può essere ripetuto.

 

Utilizzeremo quindi le combinazioni con ripetizione. Avremo così

 

C'_{(20,2)}=\left(\begin{matrix} 20+2-1 \\ 2 \end{matrix} \right)=\frac{(20+2-1)!}{2!(20-1)!}=\frac{21!}{2 \cdot 19!}=\frac{20 \cdot 21}{2}=210

 

modi possibili di estrarre due palline.

 

 


 

 

Non neghiamolo! Gli esercizi di Calcolo Combinatorio sono, tutto sommato, molto standard. L'unica difficoltà è quella di capire se, nel risolvere un problema, bisogna ricorrere allle permutazioni, alle disposizioni o alle combinazioni. Per questo motivo vi suggeriamo vivamente di leggere la lezione Come risolvere i problemi di Calcolo Combinatorio.

 

Ancora non basta? C'è un esercizio dal quale non riuscite a venirne a capo o un dubbio che vi assale da tempo? Utilizzate la barra di ricerca di YM o fate la vostra domanda nel Forum! Wink

 

Buona Probabilità a tutti!

Giuseppe Carichino

 

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