Combinazioni semplici

Nei problemi di Calcolo Combinatorio che abbiamo analizzato finora e che tiravano in ballo permutazioni e disposizioni si è sempre tenuto conto dell'ordine in cui si presentavano gli elementi di un dato insieme. Vi sono però situazioni in cui l'ordine non ha alcuna importanza; in casi del genere si ricorre alle combinazioni. In questa lezione tratteremo il caso delle combinazioni semplici, ne daremo la definizione e spiegheremo cosa caratterizza i problemi in cui si deve ricorre ad esse.

 

 

Quando si usano le combinazioni semplici

 

Sia dato un insieme di n elementi distinti e sia k \leq n. Tutti i raggruppamenti che si possono formare con k degli n elementi in modo che:

 

- ogni raggruppamento contenga esattamente k elementi tutti distinti tra loro

 

- ogni raggruppamento differisca dagli altri per almeno un elemento e non per l'ordine

 

si dicono combinazioni semplici di classe k e si indicano con C_{(n,k)}, dove n indica il numero totale degli elementi dell'insieme di partenza e k il numero degli elementi che dovrà contenere ogni raggruppamento.

 

Il numero delle combinazioni semplici è dato da

 

C_{(n,k)}=\left(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right)=\frac{n!}{k!(n-k)!}

 

dove \left(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right) indica il coefficiente binomiale.

 

 

Nelle precedente lezione ci eravamo lasciati con una domanda irrisolta: quante colonne occorre giocare al superenalotto per essere sicuri di fare 6?

 

Nel gioco del superenalotto vengono estratti 6 tra 90 numeri (tutti distinti) e per ottenere la vincita massima occorre indovinarli tutti e 6. Ovviamente l'ordine non conta e i k=6 elementi di ogni raggruppamento son tutti distinti fra loro. Il numero di colonne da giocare per essere sicuri di prendere tutto il jackpot è quindi:

 

C_{(90,6)}=\left(\begin{matrix} 90 \\ 6 \end{matrix} \right)=\frac{90!}{6!(90-6)!}=\frac{90!}{6! \cdot 84!}=622614630

 

A titolo di cronaca e di curiosità, c'è anche un articolo nel blog che parla delle probabilità di vincere al Superenalotto.

 

Altri esempi sulle combinazioni semplici

 

1) In una classe di 26 alunni si devono eleggere 2 rappresentanti di classe. In quanti modi diversi si può fare questa scelta?

 

Soluzione: poiché i k=2 rappresentanti da eleggere costituiscono un raggruppamento di due elementi scelti da un insieme che ne contiene n=26, l'ordine con cui essi vengono eletti non conta, e gli elementi di ogni raggruppamento sono necessariamente distinti. Per conoscere il numero dei modi con cui si può fare questa scelta basta ricorrere alle combinazioni semplici:

 

C_{(26,2)}=\left(\begin{matrix} 26 \\ 2 \end{matrix} \right)=\frac{26!}{2!(26-2)!}=\frac{26!}{2! \cdot 24!}=\frac{25 \cdot 26}{2}=325

 

 

2) Nel gioco del Poker (Texas Hold'em) si distribuiscono ad ogni giocatore 2 carte estratte da un pazzo che ne contiene 52. In quanti modi diversi si possono ricevere le carte?

 

Soluzione: anche in questo caso per rispondere alla nostra domanda si ricorre alle Combinazioni Semplici (Saresti in grado di spiegarne il motivo?). Abbiamo così

 

C_{(52,2)}=\left(\begin{matrix} 52 \\ 2 \end{matrix} \right)=\frac{52!}{2!(52-2)!}=\frac{52!}{2! \cdot 50!}=\frac{51 \cdot 52}{2}=1326

 

possibili modi di ricevere le carte.

 

 


 

 

Le due caratteristiche principali delle combinazioni semplici sono che: non conta l'ordine degli elementi con cui vengono formati i raggruppamenti e ogni elemento può comparire al massimo una volta. Se invece uno stesso elemento può comparire nel raggruppamento più volte, si deve ricorrere alle combinazioni con ripetizione, di cui ci occuperemo nella prossima lezione! Wink

 

Vi saluto ricordandovi che se siete alla ricerca di altre delucidazioni o esercizi svolti potete utilizzare la nostra fantastica barra di ricerca e, se ancora non dovesse bastare, potete rivolgervi al Forum dove l'intera comunità di YM sarà ben lieta di aiutarvi!

 

Buona Probabilità a tutti!

Giuseppe Carichino

 

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