Disposizioni con ripetizione

Quante colonne bisognerebbe giocare al totocalcio per essere sicuri di fare 14? E quante per fare 6 al superenalotto? Son sicuro che chiunque, almeno una volta nella sua vita, si sarà posto queste domande...Per trovare una risposta è necessario introdurre la nozione di disposizione con ripetizione.

 

Tra poco saremo in grado di darne una risposta concreta e precisa e ci renderemo conto che per far ciò bisogna già essere milionari ed investire un bel po' di soldini che sarebbero, ahimé, nettamente superiori alla vincita.

 

Basta sognare! Torniamo coi piedi per terra ed vediamo di capire cosa sono le disposizioni con ripetizione e a cosa servono.

 

Cosa sono le disposizioni con ripetizione

 

Sia dato un insieme di n elementi distinti e sia k un numero naturale maggiore di zero. Tutti i possibili raggruppamenti di k elementi che si possono formare con gli elementi dati in modo che:

 

- ogni raggruppamento ne contenga k

 

- uno stesso elemento può comparire fino a k volte nello stesso gruppo

 

- due raggruppamenti differiscano tra loro per almeno un elemento o per l'ordine;

 

si dicono disposizioni con ripetizione di classe k e si indicano con D'_{(n,k)}.

 

Il numero di tali dispozioni è dato da

 

D'_{(n,k)}=n^k

 

 

Osservazioni

 

A) La differenza tra disposizioni semplici e disposizioni con ripetizione, come fra l'altro ci si dovrebbe aspettare visto il loro nome, è che nelle disposizioni semplici, in ogni raggruppamento gli elementi devono essere tutti distinti tra loro, mentre nelle disposizioni con ripetizione uno stesso elemento può essere ripetuto fino a k volte.

 

 

B) Come di certo avrete già notato nelle disposizioni con ripetizione non vi è alcuna limitazione su k, cioè in questo caso, poiché uno stesso elemento può essere ripetuto più volte, può essere anche k \textgreater n, mentre nelle disposizioni semplici deve essere necessariamente k \leq n.

 

Esempi sulle disposizioni con ripetizione

 

1) Quanti numeri di 3 cifre si possono formare con le cifre 1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6 ?

 

Soluzione: siamo di fronte ad un insieme di n=6 elementi (le sei cifre) e dobbiamo contare tutti i possibili raggruppamenti di 3 cifre. Ovviamente l'ordine ha importanza, in quanto ad esempio 123 \neq 231, anche se i due raggruppamenti sono stati scritti utilizzando gli stessi elementi ed uno stesso elemento può essere ripetuto fino a k=3 volte (pensate ad esempio ai numeri 111 \ o \ 555 ).

 

Dobbiamo ricorrere alle disposizioni con ripetizione. Il numero cercato è dato da:

 

D'_{(6,3)}=6^3=216

 

 

2) Quanti sono i numeri di 6 cifre tutte dispari?

 

Soluzione: in questo caso l'insieme di partenza è formato da n=5 elementi, ovvero dalle cifre \{1, \ 3, \ 5, \ 7, \ 9 \} e k=6. Per contare tali numeri dobbiamo ricorrere alle disposizioni con ripetizione (stesso ragionamento dell'esempio precedente) e quindi avremo:

 

D'_{(5,6)}=5^6=15625 numeri

 

 

3) Rispondiamo ad una delle domande che ci eravamo posti inizialmente: quante colonne bisognerebbe giocare al totocalcio per essere sicuri di fare 14?

 

Per chi fosse poco esperto di questo gioco, ricordo che in una schedina del totocalcio vi sono 14 accoppiamenti di squadre con accanto una colonna contenente i simboli 1, X, 2. L'1 sta ad indicare la vittoria della squadra che gioca in casa, X il pareggio e 2 la vittoria della squadra che gioca fuori casa. Per far 14 e ricevere quindi la vincita massima occorre indovinare tutti e 14 i risultati dei 14 accoppiamenti dati.

 

Ovviamente uno stesso simbolo può essere ripetuto fino ad un massimo di 14 volte (tutte e 14 le partite potrebbero, ad esempio, infatti finire in pareggio) e l'ordine ha un'importanza fondamentale in quanto ad ogni accoppiamento di squadre deve corrispondere il risultato preciso. Per questo motivo dobbiamo ricorrere alle disposizioni con ripetizione (con n=3 e k=14) e il numero delle colonne da giocare per essere sicuri di fare 14 è:

 

D'_{(3,14)}=3^{14}=4782969

 

 


 

 

Ci eravamo posti anche un'altra domanda, cioè quante colonne dobbiamo giocare per fare 6 al superenalotto. Qui la faccenda, rispetto al gioco del Totocalcio, si fa diversa perché oltre al fatto che uno stesso numero non può essere ripetuto e quindi i 6 elementi devono essere distinti, l'ordine con cui vengono estratti i 6 dei 90 numeri non ha alcuna importanza!

 

In un caso del genere ricorrere alle disposizioni semplici (in quanto gli elementi sono distinti) sarebbe un grave errore, dovremo piuttosto ricorrere alle combinazioni semplici, di cui ci occuperemo nella prossima lezione.

 

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Buona Probabilità a tutti!

Giuseppe Carichino

 

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