Disposizioni semplici

Nelle precedenti lezioni abbiam visto come, grazie alle permutazioni, è possibile contare il numero dei raggruppamenti che si vengono a formare facendo variare tutti gli elementi di un insieme. E se volessimo contare il numero dei raggruppamenti che si vengono a formare facendo variare solo una parte degli elementi dell'insieme dato? In questo caso la faccenda si fa più delicata e vi sono diverse situazioni da distinguere. Procediamo con calma e con ordine, introducendo le disposizioni semplici.

 

 

Cosa sono le disposizioni semplici?

 

Sia dato un insieme di n elementi distinti e sia k \textless n. Tutti i raggruppamenti di k elementi (scelti fra gli n dell'insieme dato) formati in modo tale che:

 

- in ciascun raggruppamento vi siano k elementi tutti distinti tra loro

 

- due raggruppamenti differiscano tra loro: per almeno un elemento o per l'ordine

 

si dicono disposizioni semplici e si indicano con D_{n,k}, dove n indica il numero totale degli elementi e k il numero scelto per formare i raggruppamenti.

 

Il numero delle disposizioni semplici è dato da

 

D_{n,k}=\frac{n!}{(n-k)!}=n \cdot (n-1) \cdot ..... \cdot (n-k+1)

 

dove n!, (n-k)! indicano rispettivamente i fattoriali di n,(n-k).

 

 

Osservazione: inizialmente abbiamo supposto che k \textless n. Se dovesse essere k=n troveremmo

 

D_{n,k}=D_{n,n}=\frac{n!}{(n-n)!}=\frac{n!}{0!}=n!

 

e, com'era lecito aspettarsi, ricadremmo nel caso delle permutazioni semplici.

 

Esempi sulle disposizioni semplici

 

Sotto con gli esempi!

 

 

1) In questa stagione (2013-2014) al Campionato Calcistico di Serie A parteciperanno 20 squadre di cui, a fine campionato, le prime 3 avranno accesso alla Champions League. Quanti sono i possibili ordini di arrivo nelle prime tre posizioni?

 

Soluzione: abbiamo un insieme formato da n=20 elementi (le squadre che parteciperanno al campionato) i quali sono ovviamente tutti distinti tra loro. Trovare tutti i possibili ordini di arrivo nelle prime tre posizioni equivale a calcolare il numero di modi diversi in cui si possono disporre in ordine 3 elementi (squadre) scelti da un insieme di 20. Ovviamente tali raggruppamenti avranno elementi tutti distinti tra loro e l'ordine, in tutto ciò, ha importanza. Perciò tale numero è dato da:

 

D_{(20,3)}=\frac{20!}{(20-3)!}=\frac{20!}{17!}=18 \cdot 19 \cdot 20 = 6840

 

 

2) Formare tutte le parole (anche prive di senso) che si possono ottenere utilizzando 4 lettere della parola "YOUMATH". Quante sono?

 

Soluzione: abbiamo un insieme di n=7 elementi di cui dobbiamo contare tutti i raggruppamenti formati da k=4 di tali elementi. Ogni raggruppamento sarà diverso dall'altro per l'ordine e se varierà almeno un elemento. Per trovare il numero di tali raggruppamenti ricorriamo quindi alle disposizioni semplici:

 

D_{(7,4)}=\frac{7!}{(7-4)!}=\frac{7!}{3!}=840

 

 

3) In un autobus vi sono 13 posti numerati. In quanti posti diversi 8 persone possono occuparli?


Soluzione: anche in questo caso dobbiamo contare il numero di raggruppamenti di 8 elementi formati a partire da un insieme che ne contiene 13. I raggruppamenti varieranno per l'ordine e quando almeno un elemento sarà differente. Inoltre non vi possono essere due elementi uguali e quindi anche qui, ricorreremo alle disposizioni semplici:


D_{(13,8)}=\frac{13!}{(13-8)!}=\frac{13!}{5!}=51891840

 

 


 

Bene! Proprio come nel caso delle permutazioni, vi aspetterete che oltre alle disposizioni semplici esistano le disposizioni con ripetizione. In effetti è proprio così! Nella prossima lezione vedremo in quali casi è necessario farvi ricorso. Wink

 

Avete ancora dubbi? Siete alla ricerca di esercizi svolti? Utilizzate l'apposita barra di ricerca e, se ancora non dovesse bastare, fate la vostra domanda sul Forum!

 

Buona Probabilità a tutti!

Giuseppe Carichino

 

Lezione precedente..........Lezione successiva


Tags: esempi sulle disposizioni semplici e casi in cui usare le disposizioni semplici.