Permutazioni con ripetizione

Una partita di calcio termina 4 a 3. In quanti modi diversi possono essersi succedute le reti? Domanda interessante, alla quale saremo in grado di rispondere fra pochissimo ricorrendo al concetto di Permutazioni con Ripetizione.

 

Nella precedente lezione abbiamo visto come, grazie alle permutazioni semplici, si calcola il numero di tutti i possibili raggruppamenti formati da n elementi tutti distinti tra loro. Ci eravamo anche ripromessi di vedere come ci si comporta quando ci troviamo di fronte a degli elementi che si ripetono.

 

 

A cosa servono e come si usano le permutazioni con ripetizione

 

Sia dato un insieme con n elementi di cui \alpha, con \alpha \textless n, tutti uguali fra loro. Tutti i possibili raggruppamenti formati in modo che:

 

- ognuno di essi contenga tutti gli n elementi;

 

- ogni raggruppamento differisca dagli altri per l'ordine secondo il quale si susseguono gli elementi;

 

prendono il nome di permutazioni con ripezione e si indicano con P_n^{(\alpha)}, dove n indica il numero totale degli elementi e \alpha il numero di quelli tutti uguali fra loro.

 

Il numero di tali permutazioni è dato da

 

P_n^{(\alpha)} = \frac{n!}{\alpha !}

 

dove n!,\alpha ! sono rispettivamente i fattoriali di n,\alpha.

 

 

Esempio: trovare tutti i possibili anagrammi della parola "ORO".

 

Abbiamo in tutto 3 elementi di cui 2 sono fra loro uguali. Pertanto il numero dei possibili raggruppamenti ovvero degli anagrammi è dato da

 

P_3^{(2)}=\frac{3!}{2!}=\frac{6}{2}=3

 

come si può facilmente verificare scrivendoli: ORO, OOR, ROO.

 

 

E se gli elementi fra loro uguali fossero più di uno? Se ad esempio abbiamo un elemento che si ripete \alpha volte, un altro che si ripete \beta volte, un altro ancora che si ripete \gamma, e così via, allora il numero delle permutazioni con ripetizione è dato da:

 

P_n^{(\alpha, \ \beta, \ \gamma)}=\frac{n!}{\alpha! \cdot \beta ! \cdot \gamma !}

 

Supponiamo ad esempio di voler trovare il numero di tutti gli anagrammi della parola "MATEMATICA". Il numero totale degli elementi è n=10, di cui abbiamo: 2 lettere "M", ovvero \alpha = 2, 3 lettere "A" da cui \beta = 3 e 2 lettere "T" e quindi \gamma = 2 e le restanto distinte tra loro.

 

Ne segue che il numero dei possibili anagrammi è dato da


P_{10}^{(2, \ 3, \ 2)}=\frac{10!}{2! \cdot 3! \cdot 2!}=\frac{3628800}{24}=151200

 

 


 

 

Siamo ora in grado di rispondere alla domanda iniziale: una partita di calcio termina 4 a 3. In quanti modi diversi possono essersi succedute le reti?

 

Soluzione: abbiamo un totale di n=7 elementi di cui possiamo pensare alle reti di una stessa squadra come ad elementi tutti uguali dell'insieme, avendo quindi \alpha=4 e \beta = 3I modi diversi in cui le reti si son succedute sono dati da:

 

 

P_{7}^{(4, \ 3)}=\frac{7!}{4! \cdot 3!}=\frac{5040}{144}=35

 

Fine!

 

Permutazioni con ripetizione in sintesi


Si parla di permutazioni quando dato un insieme di n elementi sono tutti e soli gli n elementi dati a variare in base all'ordine. Se tali elementi sono tutti diversi tra loro si ricorrerà alle permutazioni semplici, se vi sono alcuni elementi uguali fra loro chiameremo in causa le permutazioni con ripetizione.


Se si vuole invece determinare il numero dei raggruppamenti che si possono formare con un numero k di oggetti presi da un insieme che ne contiene n si parlerà, a seconda dei casi, di disposizioni o di combinazioni - concetti di Calcolo Combinatorio che affronteremo a partire dalla prossima lezione. Laughing

 

 


 

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Buona Probabilità a tutti!

Giuseppe Carichino

 

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