Permutazioni semplici

Vediamo cosa sono e a cosa servono le permutazioni semplici: entriamo con questa lezione nel vivo del Calcolo Combinatorio che studia i modi di combinare, secondo certi criteri, gli elementi di un dato insieme e che trova ampia applicazione nel mondo reale e soprattutto nel Calcolo delle Probabilità.

 

Uso delle permutazioni semplici

 

Supponiamo di voler anagrammare la parola "UNO" (cioè scrivere tutte le possibili parole, anche senza senso, utilizzando le lettere U, N, O). Quante parole si vengono a formare?

 

Niente di difficile. Siamo di fronte a sole tre lettere, quindi possiamo procedere elencando le varie parole e poi contandole:

 

UNO, UON, NUO, NOU, OUN, ONU

 

I possibili anagrammi della parola UNO sono quindi 6.

 

Passiamo ora a determinare il numero degli anagrammi della parola "CINQUE". Anche qui potremmo procedere come sopra, ma ci metteremmo un bel po' di tempo (vi anticipo che tali anagrammi sono 720) e rischieremmo di dimenticarne qualcuno. Come fare quindi? Provate ad indovinare: vengono in aiuto le permutazioni semplici!

 

Definizione di permutazione semplice

 

Dati n elementi distinti, tutti i possibili raggruppamenti formati in modo tale che:

 

- ognuno di essi contenga tutti e soli gli n elementi dati


- ogni raggruppamento differisca dall'altro per l'ordine secondo cui gli elementi si susseguono

 

si dicono permutazioni semplici e si indicano con P_n, dove la n indica appunto il numero degli elementi di cui vogliamo calcolarne le permutazioni.

 

Il numero delle permutazioni semplici è dato da

 

P_n=n!

 

dove n! indica il fattoriale del numero n.

 

 


 

 

Nel conteggio degli anagrammi della parola "CINQUE", essendo le lettere di tale parola tutte diverse tra loro, sarebbe inutile scrivere tutte le possibilità! Un anagramma infatti altro non è se non un raggruppamento diverso delle lettere che compongono la parola data, in modo tale ogni raggruppamento differisca dall'altro per l'ordine ed ognuno di essi contenga tutte e sole quelle lettere.

 

Alla luce della definizione di permutazione semplice il numero degli anagrammi della parola "CINQUE" è P_6=6!=6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720.

 

Esempi sulle permutazioni semplici

 

Concludiamo questa lezione come di consueto con qualche esempio svolto.

 

 

1) In una famiglia ci sono oltre ai 2 genitori 5 figli, i quali cambiano posto a tavola ad ogni pasto. Quanto tempo impiegheranno ad esaurire tutte le possibili posizioni?

 

Soluzione: abbiamo 8 posti, di cui quelli occupati dai genitori sono fissi e variano gli altri 5. Pertanto il numero delle possibili posizioni è dato da P_5=5!=120. Supponendo che vi siano due pasti al giorno (pranzo e cena) impiegheranno 60 giorni (due mesi circa) ad esaurire tutte le possibili posizioni.

 

 

2) Quanti anagrammi si possono formare con la parola "GIORNALE" e quanti di essi cominciano con "NI"?

 

Soluzione: la parola "GIORNALE" contiene 8 lettere tutte diverse tra loro, pertanto il numero degli anagrammi di tale parola è dato da P_8=8!=40320. Dobbiamo ora contare quanti fra essi iniziano con la sillaba "NI". Per far ciò basta pensare alle prime due posizioni (fra le otto totali) occupate e fisse. Quelle variabili sono le ultime sei che varieranno in P_6=6!=720 modi.

 

 

Nota bene: uno degli aspetti che caratterizza il concetto di permutazione semplice è che gli elementi sono distinti. Se così non fosse come dovremmo comportarci? Se ad esempio volessimo trovare tutti i possibili anagrammi della parola "AMA", avremmo: AMA, AAM, MAA ovvero 3 e non P_3=3!=6 come invece si potrebbe erroneamente pensare! Questo perché le lettere della parola "AMA" non sono tutte distinte fra loro.

 

In questi casi si ricorre al concetto di permutazioni con ripetizione che vedremo nella prossima lezione! Laughing

 

 


 

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Buona Probabilità a tutti!

Giuseppe Carichino

 

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