Fattoriale

Di sicuro ti sarà capitato di trovare da qualche parte un numero seguito da un punto esclamativo, ad esempio 5!. Quel punto esclamativo ha un significato matematico ben preciso ed indica il fattoriale del numero che lo precede.

 

In questa lezione vedremo nel dettaglio come si definisce il fattoriale di un numero e dalla prossima lezione ne apprezzeremo l'utilità nel Calcolo Combinatorio Laughing

 

 

Cos'è il Fattoriale di un numero

 

Abbiamo già detto che il fattoriale di un numero si indica facendo seguire un punto esclamativo al numero dato. Così ad esempio 7! si leggerà "sette fattoriale" ed indicherà il prodotto di tutti i numeri naturali (escluso lo zero) minori o uguali a tale numero. Nel nostro caso quindi:

 

7! = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1

 

Due importanti osservazioni:

 

- Si pone per definizione 0! = 1, cioè, per convenzione, zero fattoriale è uguale a 1.

 

- Il fattoriale è definito solo per numeri naturali(*).

 

(*) In realtà il concetto di fattoriale si può estendere anche ai numeri non naturali, ma questa è una trattazione avanzata che non vedremo in quest'articolo.

 

Ora che dovrebbe esser chiaro come si calcola praticamente il fattoriale di un numero siam pronti, per chi fosse interessato, a fare un salto di qualità e a vedere il fattoriale da un'altro punto di vista. Esso infatti può essere pensato come una funzione. Wink

 

La funzione Fattoriale

 

Come già detto il fattoriale di un numero naturale può essere pensato come una funzione da \mathbb{N} a valori in \mathbb{N}, che ad n \in \mathbb{N} associa n! definito come sopra; in simboli:

 

!:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}

 

 

n \mapsto n! = \begin{cases} 1 \ se \ n=0 \\ \\ n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ..... \cdot 2 \cdot 1 \ se \ n\neq 0 \end{cases}

 

Riprendiamo un attimo l'ultima scrittura:

 

n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ..... \cdot 2 \cdot 1

 

e osserviamo che (n-1) \cdot (n-2) \cdot ..... \cdot 2 \cdot 1 altro non è se non (n-1)! in quanto è il prodotto di tutti gli interi positivi minori o uguali di n-1.

 

Possiamo quindi dare una nuova definizione di fattoriale, conosciuta col nome di definizione ricorsiva del fattoriale

 

 n! = \left\{ \begin{matrix} 1 \ se \ n=0 \\ \\ n \cdot (n-1)! \ se \ n\neq 0 \end{matrix}

 

Quest'ultima definizione è molto utile per svolgere alcuni tipi di esercizi. Vediamone qualche esempio.

 

 

1) Verificare la seguente uguaglianza

 

n^2(n-1)!+n!=(n+1)!.

 

Cerchiamo di riscrivere in modo diverso il primo membro applicando la definizione ricorsiva di fattoriale e quindi sostituendo n! con n(n-1)! avremo:

 

n^2(n-1)!+n!=n^2(n-1)!+n(n-1)!=

 

raccogliendo (n-1)!

 

=(n-1)![n^2+n]=(n-1)! \cdot n \cdot (n+1) =  (n+1)[n(n-1)!] = (n+1) \cdot n! = (n+1) \overbrace{\cdot n \cdot (n-1) \cdot .... \cdot 2 \cdot 1}^{=n!} = (n+1)!

 

Abbiamo ottenuto il secondo membro dell'uguaglianza che quindi risulta vera.

 

 

2) Risolvere la seguente equazione

 

4(x-1)!=x!\mbox{ con }x \in \mathbb{N}

 

Sempre utilizzando la definizione ricorsiva di fattoriale abbiamo che: x!=x(x-1)! e quindi, per sostituzione, ricaviamo 4(x-1)!=x(x-1)!.

 

Essendo x un numero naturale, ovvero maggiore o uguale a zero, ed essendo il fattoriale di un numero naturale maggiore o uguale a uno si ha che (x-1)! \neq 0. Possiamo dividere ambo i membri per (x-1)! ottenendo x=4.

 

 


 

Per questa lezione è tutto! Nella prossima esporremo vita, morte e miracoli del coefficiente binomiale per poi addentrarci nel vivo del calcolo combinatorio iniziando col parlare delle permutazioni semplici, dove la definizione di fattoriale interviene prepotentemente. Laughing

 

Nel frattempo vi ricordo che con l'aiuto della barra di ricerca potete trovare tanti altri esercizi con cui allenarvi, e se proprio doveste aver bisogno ,potete ricorrere al Forum dove l'intera community di YM sarà lieta di aiutarvi!

 

Buona Probabilità a tutti!

Giuseppe Carichino

 

Lezione successiva


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