Analisi dimensionale

L'analisi dimensionale è una procedura matematica utilizzata in Fisica per verificare il corretto uso delle unità di misura nelle formule e nelle equazioni, e serve a controllare la coerenza del risultato rispetto alle grandezze utilizzate nei calcoli.

 

Per capire come effettuare l'analisi dimensionale in Fisica è fondamentale capire cosa si intende per dimensione di una grandezza fisica. Per questo motivo nel corso della spiegazione partiremo dalla definizione di dimensione per poi studiare il metodo che permette di svolgere le operazioni tra dimensioni.

 

A fine lezione proporremo quindi il metodo dettagliato per svolgere l'analisi dimensionale di una formula fisica, ma prima dobbiamo procedere con ordine e partire da qualche piccola e importante premessa.

 

Dimensione di una grandezza fisica

 

Ricordiamo che una grandezza fisica è una qualunque caratteristica di un oggetto che può essere misurata, come ad esempio l'altezza, la velocità, l'area, il volume, la durata di un intervallo di tempo e così via.

 

A ciascuna grandezza fisica fondamentale o derivata si può associare una dimensione. Avremo cioè una dimensione per l'altezza, una per la velocità, una dimensione per l'area, una per il volume, una dimensione per la durata di tempo...

 

Vediamo quindi come determinare la dimensione di una grandezza fisica, qualsiasi essa sia. A tal proposito il Sistema Internazionale ha definito 7 dimensioni fondamentali con i relativi simboli che abbiamo riportato nella seguente tabella.

 

 

Dimensioni fondamentali

Simbolo

Lunghezza

L

Tempo

T

Massa

M

Intensità di corrente

I

Temperatura

Θ

Quantità di materia

N

Intensità luminosa

J

 

 

Data una qualsiasi grandezza fisica, in base a com'è definita, possiamo esprimerne la dimensione indicandola per esteso oppure racchiudendo tra una coppia di parentesi quadre il simbolo che la rappresenta.

 

Esempi di dimensione di una grandezza fisica

 

1) La dimensione della grandezza fisica altezza è la lunghezza, che in simboli indicheremo con [\mbox{L}].

 

\mbox{altezza}\ \to\ [\mbox{L}]

 

2) La dimensione della velocità è lunghezza/tempo.

 

La velocità media è infatti definita come il rapporto tra lo spostamento e la durata di tempo in cui tale spostamento avviene. Dal momento che lo spostamento è una grandezza fisica che ha la dimensione di una lunghezza, e poiché una durata di tempo ha indubbiamente la dimensione di un tempo, si ha che la dimensione della velocità è data da [\mbox{L}/\mbox{T}] che si preferisce indicare con [\mbox{LT}^{-1}].

 

\mbox{velocit}\grave{\mbox{a}}\ \to\ [\mbox{LT}^{-1}]

 

3) Ricordando che l'accelerazione è definita come il rapporto tra una variazione di velocità e la durata di tempo in cui avviene tale variazione, possiamo concludere che la dimensione dell'accelerazione è [\mbox{LT}^{-2}].

 

La velocità ha infatti come dimensione [\mbox{LT}^{-1}] mentre una durata di tempo ha per dimensione [\mbox{T}], da cui segue che la dimensione dell'accelerazione è data da

 

\frac{\left[\mbox{LT}^{-1}\right]}{\left[\mbox{T}\right]}=\left[\mbox{LT}^{-1}\right] \cdot \left[\mbox{T}^{-1}\right] = \left[\mbox{LT}^{-2}\right]

 

Operazioni tra dimensioni

 

Come è già capitato negli esempi appena proposti, e come capiterà nell'analisi dimensionale di una formula fisica, vi ritroverete a dover svolgere delle operazioni con le dimensioni.

 

Somma e differenza tra dimensioni

 

Non si possono sommare o sottrarre due o più dimensioni diverse. Operazioni del tipo

 

[\mbox{L}]+[\mbox{T}], \quad [\Theta]-[\mbox{M}], \quad [\mbox{N}]+[\mbox{L}]-[\mbox{T}]

 

non hanno alcun significato. A pensarci bene non ha alcun senso pensare di voler sommare una lunghezza con un tempo o sottrarre una massa da una temperatura. Quindi, se effettuando un'analisi dimensionale vi capitasse di ricadere in una somma o in una differenza tra dimensioni diverse, allora sapreste automaticamente che la formula che state analizzando è inconsistente, ossia priva di significato.

 

In particolare si può eseguire una somma algebrica solo tra dimensioni dello stesso tipo e, badate bene, il risultato coincide sempre con la dimensione di partenza. Ad esempio

 

\\ \ [\mbox{L}]+[\mbox{L}]= [\mbox{L}] \mbox{ e non } [2\mbox{L}] \\ \\ \ [\mbox{M}]-[\mbox{M}]= [\mbox{M}] \mbox{ e non } 0

 

Ragioniamo per un istante sull'esempio appena proposto. [\mbox{L}] sta ad indicare una lunghezza e calcolare [\mbox{L}]+[\mbox{L}] vuol dire sommare due lunghezze. Dovremmo essere tutti d'accordo sul fatto che, sommando ad una lunghezza un'altra lunghezza, otteniamo ancora una lunghezza e non due lunghezze. Di conseguenza

 

[\mbox{L}]+[\mbox{L}]=[\mbox{L}]

 

Allo stesso modo sottraendo due masse otteniamo ancora una massa, e non zero

 

[\mbox{M}]+[\mbox{M}]=[\mbox{M}]

 

Prodotto e rapporto tra dimensioni

 

Si può calcolare il prodotto o il rapporto tra due o più dimensioni, di qualsiasi tipo, pensando ad ogni dimensione come se fosse un monomio. Così, ad esempio

 

\\ \left[\mbox{L}\right] \cdot \left[\mbox{L}\right] = \left[\mbox{L}^2\right]\\ \\ \\ \frac{\left[\mbox{T}^2\right]}{\left[\mbox{T}\right]} = \left[\mbox{T}^2\right] \cdot \left[\mbox{T}^{-1}\right]=[\mbox{T}] \\ \\ \\ \frac{\left[\mbox{L}^3\right]}{\left[\mbox{T}^2\right]}\cdot [\mbox{M}] = \left[\mbox{L}^3\right] \cdot \left[\mbox{T}^{-2}\right] \cdot [\mbox{M}]=[\mbox{L}^3\mbox{T}^{-2}\mbox{M}]

 

Nell'analisi dimensionale, alla notazione sotto forma di frazione si preferisce l'utilizzo dell'esponente negativo in modo da avere la dimensione espressa su un'unica riga e racchiusa tra un'unica coppia di parentesi quadre.

 

Elevamento a potenza e radice di una dimensione

 

Ancora una volta, per elevare a potenza una dimensione, calcolarne la radice quadrata o più in generale estrarre la radice n-esima, basta procedere come nelle operazioni tra monomi. Facciamo giusto qualche esempio

 

[\mbox{M}]^2 = \left[\mbox{M}^2\right], \quad \sqrt{\left[\mbox{L}^4\right]}=\left[\mbox{L}^2\right], \quad \left[\mbox{M}\mbox{L}^2\mbox{T}^{-2}\right]^3 = \left[\mbox{M}^3\mbox{L}^6\mbox{T}^{-6}\right]

 

Dimensioni ed unità di misura

 

Chi si affaccia per la prima volta all'analisi dimensionale tende a far confusione tra i concetti correlati ma ben distinti di dimensione ed unità di misura.

 

Per esempio una distanza può essere misurata in metri, chilometri o miglia, ossia può essere espressa in qualsiasi unità di misura di lunghezza; ma la dimensione della distanza, indipendentemente dall'unità di misura scelta, rimane sempre la lunghezza [\mbox{L}].

 

Una velocità si può misurare in m/s, in km/h, in miglia orarie o in nodi, ma la sua dimensione è solo e soltanto [\mbox{LT}^{-1}].

 

Inoltre un errore comune consiste nel voler calcolare la dimensione di un'unità di misura. Attenzione: quella che si può calcolare è la dimensione di una grandezza fisica e non dell'unità di misura!

 

Analisi dimensionale di una formula

 

A conclusione di questa lezione vediamo come si svolge l'analisi dimensionale di una formula o di un'equazione qualsiasi in cui entrano in gioco grandezze fisiche.

 

Quando si è di fronte ad una formula fisica o si svolgono calcoli con grandezze fisiche e unità di misura, per verificare la plausibilità della formula data e la consistenza dei calcoli svolti si può ricorrere all'analisi dimensionale.

 

Eseguire l'analisi dimensionale di una formula, o più in generale di un'equazione fisica, vuol dire ricavare le dimensioni di ognuno dei due membri allo scopo di verificare che esse coincidano: se così non fosse ci sarebbe necessariamente qualcosa di sbagliato, perché avremmo a che fare con un'equazione dimensionalmente non consistente.

 

Esempio di analisi dimensionale

 

A titolo esemplificativo verifichiamo la consistenza dimensionale della legge oraria del moto rettilineo uniforme:

 

\Delta s = v \Delta t

 

Svolgimento: al primo membro troviamo \Delta s che in Fisica indica uno spostamento e come tale ha per dimensione [\mbox{L}], cioè ha la dimensione di una lunghezza.

 

A secondo membro abbiamo un prodotto tra la velocità v ed il tempo \Delta t. La dimensione della velocità, come abbiamo già avuto modo di vedere, è \left[\mbox{LT}^{-1}\right] mentre la dimensione del tempo è [\mbox{T}]

 

La dimensione del secondo membro è quindi data da

 

\left[\mbox{LT}^{-1}\right]\cdot [\mbox{T}] = \left[\mbox{L}\mbox{T}^{-1}\cdot \mbox{T}\right]=[\mbox{L}]

 

Come possiamo osservare le dimensioni dei due membri coincidono e quindi la legge oraria del moto rettilineo uniforme è, come ci aspettavamo, dimensionalmente corretta.

 

 

Buon proseguimento su YouMath!

Giuseppe Carichino (Galois)