Analisi dimensionale

L'analisi dimensionale è uno strumento utilizzato soprattutto in Fisica per verificare la correttezza di calcoli ed equazioni. A fine lezione vedremo proprio come si svolge l'analisi dimensionale di una formula fisica, ma prima di arrivare a ciò è necessaria qualche piccola e importante premessa.

 

Occorre capire, anzitutto, cosa si intende per dimensione di una grandezza fisica per poi imparare a svolgere le operazioni tra dimensioni. Procediamo con ordine.. ;)

 

Dimensione di una grandezza fisica

 

Ricordiamo che una grandezza fisica è una qualunque caratteristica di un oggetto che può essere misurata come, ad esempio, l'altezza, la velocità, l'area, il volume, la durata di un intervallo di tempo...

 

A ciascuna grandezza fisica, che sia fondamentale o derivata, si può associare una dimensione; avremo cioè una dimensione per l'altezza, una per la velocità, una dimensione per l'area, una per il volume, una dimensione per la durata di tempo, e così via...

 

Chiarito ciò, vediamo come determinare la dimensione di una grandezza fisica, qualsiasi essa sia. A tal fine il Sistema Internazionale ha definito 7 dimensioni fondamentali con i relativi simboli che abbiamo riportato nella tabella seguente.

 

 

Dimensioni fondamentali

Simbolo

Lunghezza

L

Tempo

T

Massa

M

Intensità di corrente

I

Temperatura

Θ

Quantità di materia

N

Intensità luminosa

J

 

 

Quindi, data una qualsiasi grandezza fisica, in base a com'è definita possiamo esprimerne la dimensione o indicandola per esteso o racchiudendo tra una coppia di parentesi quadre i simboli delle dimensioni fondamentali coinvolte.

 

Può sembrare difficile, ma non c'è nulla di complicato. I seguenti esempi vi aiuteranno a far chiarezza.

 

Esempi di dimensione di una grandezza fisica

 

1) La dimensione della grandezza fisica altezza è la lunghezza, che in simboli indicheremo con [\mbox{L}].

 

\mbox{altezza}\ \to\ [\mbox{L}]

 

2) La dimensione della velocità è lunghezza/tempo.

 

Infatti la velocità media è definita come il rapporto tra lo spostamento e la durata di tempo in cui tale spostamento avviene. Dal momento che lo spostamento è una grandezza fisica che ha la dimensione di una lunghezza, e poiché una durata di tempo ha indubbiamente la dimensione di un tempo, si ha che la dimensione della velocità è data da [\mbox{L}/\mbox{T}] che si preferisce indicare con [\mbox{LT}^{-1}].

 

\mbox{velocit}\grave{\mbox{a}}\ \to\ [\mbox{LT}^{-1}]

 

3) Ricordando che l'accelerazione è definita come il rapporto tra una variazione di velocità e la durata di tempo in cui avviene tale variazione, possiamo concludere che la dimensione dell'accelerazione è [\mbox{LT}^{-2}].

 

Infatti la velocità ha come dimensione [\mbox{LT}^{-1}] e una durata di tempo ha per dimensione [\mbox{T}], da cui segue che la dimensione dell'accelerazione è data da

 

\frac{\left[\mbox{LT}^{-1}\right]}{\left[\mbox{T}\right]}=\left[\mbox{LT}^{-1}\right] \cdot \left[\mbox{T}^{-1}\right] = \left[\mbox{LT}^{-2}\right]

 

Operazioni tra dimensioni

 

Come è già capitato negli esempi fatti poc'anzi, e come capiterà nell'analisi dimensionale di una formula fisica, vi ritroverete a dover svolgere delle operazioni con le dimensioni.

 

Somma e differenza tra dimensioni

 

Non si possono sommare o sottrarre due o più dimensioni diverse; operazioni del tipo

 

[\mbox{L}]+[\mbox{T}], \quad [\Theta]-[\mbox{M}], \quad [\mbox{N}]+[\mbox{L}]-[\mbox{T}]

 

non hanno alcun significato. Infatti, a pensarci bene, non ha alcun senso pensare di voler sommare una lunghezza con un tempo o sottrarre una massa da una temperatura. Quindi, se durante un'analisi dimensionale vi capitasse di ricadere in una somma o in una differenza tra dimensioni diverse, allora sapreste automaticamente che la formula che state analizzando è inconsistente, ossia priva di significato.

 

In particolare si può eseguire una somma algebrica solo tra dimensioni dello stesso tipo e, badate bene, il risultato coincide sempre con la dimensione di partenza. Ad esempio

 

\\ \ [\mbox{L}]+[\mbox{L}]= [\mbox{L}] \mbox{ e non } [2\mbox{L}] \\ \\ \ [\mbox{M}]-[\mbox{M}]= [\mbox{M}] \mbox{ e non } 0

 

Ragioniamo per un istante sull'esempio appena proposto. [\mbox{L}] sta ad indicare una lunghezza e calcolare [\mbox{L}]+[\mbox{L}] vuol dire sommare due lunghezze. Dovremmo essere tutti d'accordo sul fatto che, sommando ad una lunghezza un'altra lunghezza, otteniamo ancora una lunghezza (cioè [\mbox{L}]+[\mbox{L}]=[\mbox{L}]) e non due lunghezze. Allo stesso modo sottraendo due masse otteniamo ancora una massa e non zero.. ;)

Prodotto e rapporto tra dimensioni

 

Si può calcolare il prodotto o il rapporto tra due o più dimensioni di qualsiasi tipo, pensando ad ogni dimensione come se fosse un monomio. Così, ad esempio

 

\\ \left[\mbox{L}\right] \cdot \left[\mbox{L}\right] = \left[\mbox{L}^2\right]\\ \\ \\ \frac{\left[\mbox{T}^2\right]}{\left[\mbox{T}\right]} = \left[\mbox{T}^2\right] \cdot \left[\mbox{T}^{-1}\right]=[\mbox{T}] \\ \\ \\ \frac{\left[\mbox{L}^3\right]}{\left[\mbox{T}^2\right]}\cdot [\mbox{M}] = \left[\mbox{L}^3\right] \cdot \left[\mbox{T}^{-2}\right] \cdot [\mbox{M}]=[\mbox{L}^3\mbox{T}^{-2}\mbox{M}]

 

Nell'analisi dimensionale, alla notazione sotto forma di frazione si preferisce l'utilizzo dell'esponente negativo in modo da avere la dimensione espressa su un'unica riga e racchiusa tra un'unica coppia di parentesi quadre.

 

Elevamento a potenza e radice di una dimensione

 

Ancora una volta, per elevare a potenza una dimensione, calcolarne la radice quadrata o più in generale estrarre la radice n-esima, basta procedere come nelle operazioni tra monomi. Facciamo giusto qualche esempio

 

[\mbox{M}]^2 = \left[\mbox{M}^2\right], \quad \sqrt{\left[\mbox{L}^4\right]}=\left[\mbox{L}^2\right], \quad \left[\mbox{M}\mbox{L}^2\mbox{T}^{-2}\right]^3 = \left[\mbox{M}^3\mbox{L}^6\mbox{T}^{-6}\right]

 

Dimensioni ed unità di misura

 

Chi si affaccia per la prima volta all'analisi dimensionale tende a far confusione tra i concetti correlati ma ben distinti di dimensione ed unità di misura.

 

Per esempio, una distanza può essere misurata in metri, chilometri, miglia, ossia può essere espressa in qualsiasi unità di misura di lunghezza, ma la dimensione della distanza, indipendentemente dall'unità di misura scelta, rimane sempre [\mbox{L}].

 

Ancora, una velocità si può misurare in m/s, km/h, miglia orarie o nodi ma la sua dimensione è solo e soltanto [\mbox{LT}^{-1}].

 

Inoltre, un errore comune, è quello di voler calcolare la dimensione di un'unità di misura. Quella che si può calcolare è la dimensione di una grandezza fisica e non dell'unità di misura!

 

Analisi dimensionale di una formula

 

A conclusione di questo articolo vediamo come si svolge l'analisi dimensionale di una qualsiasi formula o equazione in cui entrano in gioco grandezze fisiche.

 

Quando si è di fronte ad una formula fisica o si svolgono calcoli con grandezze fisiche o unità di misura, per verificare la plausibilità della formula data e la consistenza dei calcoli svolti, si può ricorrere all'analisi dimensionale.

 

Eseguire l'analisi dimensionale di una formula o più in generale di un'equazione fisica, vuol dire ricavare le dimensioni di ognuno dei due membri allo scopo di verificare che esse coincidano: se così non fosse c'è qualcosa di sbagliato.

 

Esempio di analisi dimensionale

 

A titolo esemplificativo verifichiamo la consistenza dimensionale della legge oraria del moto rettilineo uniforme:

 

\Delta s = v \Delta t

 

Svolgimento: al primo membro troviamo \Delta s che in Fisica indica uno spostamento e come tale ha per dimensione [\mbox{L}], cioè ha la dimensione di una lunghezza.

 

A secondo membro abbiamo un prodotto tra la velocità v ed il tempo \Delta t. La dimensione della velocità, come abbiamo già avuto modo di vedere, è \left[\mbox{LT}^{-1}\right] mentre la dimensione del tempo è [\mbox{T}]

 

Pertanto la dimensione del secondo membro è data da

 

\left[\mbox{LT}^{-1}\right]\cdot [\mbox{T}] = \left[\mbox{L}\mbox{T}^{-1}\cdot \mbox{T}\right]=[\mbox{L}]

 

Come possiamo osservare le dimensioni dei due membri coincidono e quindi la legge oraria del moto rettilineo uniforme è, come ci aspettavamo, dimensionalmente corretta.

 

 

Buon proseguimento su YouMath!

Giuseppe Carichino (Galois)