Relazione relativistica tra energia e quantità di moto

La relazione relativistica tra energia e quantità di moto, detta anche teorema di Pitagora relativistico, è una formula che lega l'energia relativistica e la quantità di moto relativistica. Essa differisce rispetto alla relazione classica tra le due grandezze e si riduce ad essa per velocità di molto inferiori rispetto a quella della luce nel vuoto.

 

In questa lezione riportiamo una formula estremamente importante in Relatività Ristretta: il cosiddetto teorema di Pitagora relativistico, o più precisamente un'equazione che mette in relazione l'energia e la quantità di moto per fenomeni relativistici.

 

Oltre a spiegarne il significato e le implicazioni fisiche (esistenza di particelle con massa nulla), effettueremo un confronto rispetto al caso della Meccanica Classica mettendo in luce le sostanziali differenze.

 
 
 

Relazione relativistica tra energia e quantità di moto

 

Abbiamo visto come siano differenti le definizioni di energia relativistica e di quantità di moto relativistica rispetto a quanto visto in Meccanica Classica. Un'ulteriore "novità" rispetto al caso classico riguarda la relazione tra queste due grandezze, che tra l'altro può rivelarsi molto utile nelle applicazioni e negli esercizi.

 

L'energia totale di una particella può essere scritta in funzione della quantità di moto secondo la seguente equazione:

 

 E = \sqrt{(pc)^2 + (m_0c^2)^2}

 

Si tratta di una sorta di teorema di Pitagora, che non a caso viene anche detto teorema di Pitagora relativistico. Il secondo termine all'interno della radice è l'energia a riposo E_0=m_0c^2 Se vogliamo esplicitare tutti i termini, possiamo riscrivere la relazione precedente in un modo equivalente:

 

 E = \sqrt{p^2c^2 + m_0^2c^{4}}

 

Relazione tra energia e quantità di moto dal caso relativistico al caso classico

 

Anche questa volta siamo arrivati a un'espressione completamente differente da quella che avevamo in Meccanica Classica. Nel caso classico abbiamo infatti un'energia che, per una particella libera, corrisponde alla sola energia cinetica e una quantità di moto priva del fattore di Lorentz.

 

\left.\begin{matrix}E_{c} = \frac{1}{2}mv^2\\ \\ p = mv\end{matrix}\right\}\ \ \ (\mbox{Meccanica Classica})

 

Qui abbiamo indicato la massa con m ma avremmo potuto indifferentemente scrivere m_0, poiché nel caso classico il concetto di massa è assoluto. Se proviamo a scrivere l'energia in funzione della quantità di moto, otteniamo:

 

E_{c} = \frac{p^2}{2m}\ \ \ (\mbox{Meccanica Classica})

 

Come sempre ci aspettiamo che la nuova relazione relativistica si riduca a quella della Meccanica Classica nel limite in cui le velocità sono molto più piccole della velocità della luce (v<<c), e in effetti si può dimostrare che così è.

 

Dimostrazione della relazione relativistica tra quantità di moto ed energia

 

Vediamo ora di ricavare la relazione tra energia e quantità di moto che abbiamo scritto all'inizio di questa lezione. Innanzitutto consideriamo la definizione di energia totale ed eleviamola al quadrato:

 

E = m_0c^2 \gamma = \frac{m_0c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\ \ \to\ \ E^2 = \frac{m_0^2c^{4}}{1 - \frac{v^2}{c^2}}

 

Ora facciamo la stessa cosa con la quantità di moto relativistica:

 

p = m_0 \gamma v = \frac{m_0v}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\ \ \to\ \ p^2 = \frac{m_0^2v^2}{1 - \frac{v^2}{c^2}}

 

Dividiamo E^2 per c^2

 

 \frac{E^2}{c^2} = \frac{m_0^2c^2}{1 - \frac{v^2}{c^2}}

 

e calcoliamo la differenza tra \frac{E^2}{c^2} e p^2

 

\frac{E^2}{c^2} - p^2 = \frac{m_0^2c^2}{1 - \frac{v^2}{c^2}} - \frac{m_0^2v^2}{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{m_0^2(c^2 - v^2)}{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \\ \\ \\ = \frac{m_0^2(c^2 - v^2)}{ \frac{c^2 - v^2}{c^2}} = m_0^2(c^2 - v^2) \cdot \frac{c^2}{c^2 - v^2} = m_0^2c^2

 

per cui ricaviamo

 

 \frac{E^2}{c^2} - p^2 = m_0^2c^2

 

Riscriviamo quest'ultima relazione in favore dell'energia relativistica

 

E^2 - p^2c^2 = m_0^2c^4\\ \\ E^2 = p^2c^2 + m_0^2c^4\\ \\ E = \sqrt{p^2c^2 + m_0^2c^4}

 

ossia la formula scritta inizialmente.

 

 

Osservazione (teorema di Pitagora relativistico e particelle di massa nulla)

 

La cosa interessante (e un po' strana, se volete) è che questa relazione ammette la possibilità che esistano particelle con massa nulla. È un'altro di quei concetti della relatività che potrebbero risultare un po' indigesti, ma se poniamo m=0 nell'equazione dell'energia, otteniamo:

 

m_0=0\ \ \implies\ \ E = pc

 

In natura sono esempi di particelle di massa nulla i fotoni, le particelle della luce e in generale di qualunque radiazione elettromagnetica. Un fotone quindi viaggia esattamente alla velocità della luce c in qualunque sistema di riferimento inerziale, così come stabilisce il secondo postulato della Relatività Ristretta.

 

Con le sole leggi della Meccanica Classica non sarebbe stato possibile riuscire a formulare questo concetto, infatti da

 

 E_{c} = \frac{p^2}{2m}\ \ \ (\mbox{Meccanica Classica})

 

se la massa fosse nulla, si annullerebbe il denominatore e l'energia non sarebbe più calcolabile.

 

 


 

Pronti per affrontare il concetto di forza relativistica? Se sì, ci vediamo nella lezione successiva! ;) Per tutto il resto non dimenticate che qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio: potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna.

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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Tags: teorema di Pitagora relativistico e formula del legame relativistico tra energia e quantità di moto.