Legge di Stevino

La legge di Stevino è una legge che esprime il valore di pressione esercitata da un fluido su un corpo immerso al suo interno, in funzione della profondità a cui è situato il corpo e a partire dal valore dell'accelerazione di gravità e dalla densità del fluido.

 

Nella lezione sulla pressione abbiamo visto che un corpo immerso in un fluido subisce una pressione in tutte le direzioni che tende a comprimerlo. Ora è giunto il momento di approfondire il discorso e di introdurre la legge di Stevino, la prima vera legge che si affronta nello studio dell'Idrostatica.

 

Enunciato e formula della legge di Stevino

 

La legge di Stevino permette di calcolare la pressione che un fluido incomprimibile è in grado di esercitare su un corpo al variare della profondità alla quale è collocato il corpo. La legge analitica che ci dice come cambia la pressione in funzione della profondità è per l'appunto la formula della legge di Stevino:

 

p=\rho g h

 

dove \rho denota la densità del fluido, g il valore dell'accelerazione di gravità (≈9,81 m/s2) ed h la profondità misurata rispetto ad un opportuno sistema di riferimento.

 

Esempio e prime osservazioni sulla legge di Stevino

 

Come primissima osservazione vogliamo sottolineare una condizione che potrebbe essere passata inosservata: la legge di Stevino vale solamente per i fluidi incomprimibili. In altri termini, essa è valida solamente nel caso dei liquidi.

 

Dalla formula della legge di Stevino è facile comprendere che la pressione è direttamente proporzionale alla profondità h, oltre che alla densità del fluido \rho. Attenzione al fatto che con la lettera h si intende la profondità e non l'altezza; se ad esempio volessimo calcolare a quale pressione siamo soggetti quando ci troviamo immersi in mare a 2 metri di profondità, dovremmo considerare un sistema di riferimento in cui la quota zero coincide con la superficie dell'acqua. Dunque h=2\mbox{ m}, cioè la distanza che ci separa dalla superficie dell'acqua e non dal fondo del mare.

 

Per procedere al calcolo del valore di pressione in questo esempio è necessario conoscere il valore di densità dell'acqua di mare, indicativamente \rho=1030\ \frac{\mbox{kg}}{\mbox{m}^2}, che è leggermente superiore al valore di densità dell'acqua \left(\rho=1030\ \frac{\mbox{kg}}{\mbox{m}^2}\right):

 

p=mgh=\left(1030\ \frac{\mbox{kg}}{\mbox{m}^3}\right) \cdot \left(9,81\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}\right)\cdot (2\mbox{ m})\simeq 2,02 \cdot 10^4\mbox{ Pa}

 

Un'ulteriore, immediata conseguenza della legge di Stevino riguarda i corpi estesi: un corpo immerso in un fluido sarà soggetto a pressioni differenti. In particolare la pressione che viene esercita sulla superficie superiore è minore di quella che viene esercita dal basso sulla sua superficie inferiore.

 

Significato della legge di Stevino

 

Quella che abbiamo calcolato nel precedente esempio è la pressione con la quale l'acqua tende a comprimerci ad una profondità di 2 metri. Scendendo più in profondità è ragionevole aspettarsi che la pressione aumenti, ma in che modo?

 

Se riscriviamo la precedente formula e consideriamo costanti la densità e l'accelerazione di gravità, allora possiamo interpretare la legge di Stevino come una funzione che esprime la pressione al variare della profondità

 

p(h)=\rho g h

 

In questi termini si nota subito che l'espressione della funzione p=p(h) è della forma

 

f(x)=mx

 

dunque essa ha come grafico una retta con coefficiente angolare m=\rho g e ordinata all'origine nulla. In buona sostanza la pressione aumenta in modo lineare, il che significa che se la profondità raddoppia, la pressione raddoppia; se la profondità triplica, anche la pressione triplica e così via.

 

Interpretazione della legge di Stevino

 

Con tutte le premesse viste fin qui vogliamo analizzare a fondo qual è l'interpretazione della legge di Stevino rispetto alla nozione di pressione. Attenzione: quella che stiamo proponendo non è una dimostrazione della legge di Stevino!

 

Osserviamo la seguente figura:

 

 

Dimostrazione della legge di Stevino

 

 

Consideriamo senza ledere in generalità un oggetto immerso in acqua ad una profondità h. A partire dalla superficie superiore dell'oggetto immerso, consideriamo una colonna di altezza h fino alla superficie dell'acqua.

 

Ricordiamoci che la densità è definita come

 

 \rho = \frac{m}{V}

 

Se consideriamo la colonna d'acqua, il suo volume è:

 

V=A_{base}h \ \to\ \rho=\frac{m}{A_{base}h}

 

Sostituiamo questa espressione nella legge di Stevino:

 

 p = \frac{m}{A_{base}h} gh = \frac{m}{A_{base}} g = \frac{F_{p}}{A_{base}}

 

Torniamo così ad avere la definizione di pressione come rapporto della forza sulla superficie. In questo caso la forza che esercita la pressione è data dalla forza peso e la superficie è quella del corpo immerso nel fluido.

 

In questo modo abbiamo ricavato una semplice interpretazione della legge di Stevino: la pressione che un fluido esercita su un corpo immerso al suo interno è data dal peso della colonna di fluido che sovrasta il corpo. Più andiamo in profondità, più la colonna diventa alta e maggiore è la sua forza peso cosicché più grande sarà anche la pressione percepita.

 

Qualcuno a questo punto potrebbe obiettare che c'è qualcosa che non quadra: la precedente interpretazione è chiara, ma il ragionamento sembrerebbe fallire se volessimo calcolare la pressione agente sulla parte inferiore o laterale di un corpo immerso. Obiezione corretta. Il fatto è che ci manca un risultato teorico che vedremo nel seguito (il principio di Pascal), il quale stabilisce in un qualsiasi fluido la pressione viene trasmessa inalterata in ogni suo punto e a qualsiasi profondità. ;)

 

Legge di Stevino, pressione atmosferica e pressione subacquea

 

Nella lezione successiva tratteremo in lungo in largo la pressione atmosferica e spiegheremo come è stata misurata storicamente; per il momento ci accontentiamo di leggere un barometro e di sapere che la pressione atmosferica al livello del mare vale

 

p_{atm}=101325\mbox{ Pa}

 

In accordo con l'interpretazione della legge di Stevino, la pressione atmosferica non è altro che la pressione esercitata da una colonna d'aria di atmosfera che raggiunge il livello del mare. Tale valore è tanto importante da aver indotto i fisici a definire un'ulteriore misura della pressione, che non a caso viene chiamata atmosfera ed indicata con \mbox{atm}

 

1\mbox{ atm}=101325\mbox{ Pa}

 

Immaginiamo di immegerci in mare (ρ = 1030 kg/m3) ad una profondità di 10 m e calcoliamo la pressione esercitata dall'acqua:

 

p=\rho gh=\left(1030 \ \frac{\mbox{kg}}{\mbox{m}^3}\right) \cdot \left(9,81 \ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}\right) \cdot (10\mbox{ m})\simeq 101043\mbox{ Pa}

 

Abbiamo così ottenuto un valore pressoché uguale a quello della pressione atmosferica. La morale della favola è che ogni 10 metri circa di profondità l'acqua esercita una pressione uguale alla pressione atmosferica: quindi se scendiamo a 20 metri, la pressione sarà il doppio di quella atmosferica e così via. Per l'acqua dolce si avrebbe un valore di pressione leggermente inferiore.

 

Con queste considerazioni non è difficile scrivere il valore di pressione subacquea cui è soggetto un corpo immerso nel mare. Non dobbiamo limitarci a considerare la pressione esercitata dall'acqua, bensì dobbiamo sommare la pressione atmosferica (che viene esercitata fino alla superficie) e quella dell'acqua:

 

p=p_{atm}+\rho g h

 

dove h indica la profondità rispetto al livello del mare. La funzione che esprime il valore di pressione subacquea all'aumentare della profondità è quindi una retta della forma y=mx+q in cui la quota all'origine è data dalla pressione atmosferica: q=p_{atm}.

 

Naturalmente non dobbiamo dimenticare che l'accelerazione di gravità non è una costante e che varia al variare della distanza dal centro della Terra; cionondimeno nelle applicazioni che ci interesseranno potremo sempre approssimarla ad una costante e considerare la precedente formula come una formula esatta.

 

Generalizzazione della legge di Stevino

 

Il precedente ragionamento si estende al caso di un fluido qualsiasi e ci permette di fornire una generalizzazione della legge di Stevino. Dobbiamo distinguere due casi:

 

1) dato un fluido contenuto in un recipiente chiuso ed un corpo immerso nel fluido, la pressione esercitata sul corpo viene descritta dalla legge di Stevino:

 

p=\rho g h

 

2) Dato un fluido (per fissare le idee, un liquido) in un recipiente aperto ed un corpo immerso, la pressione esercitata sul corpo è data dalla somma di due contributi: la pressione esercitata dall'atmosfera e quella esercitata dal fluido

 

p=p_0+\rho g h

 

Il valore p_0 corrisponde alla pressione esercitata dalla colonna d'aria e coincide con la pressione atmosferica p_{atm} solo al livello del mare; a quote superiori al livello del mare esso assume un valore p_0<p_{atm}, poiché l'altezza della colonna d'aria ha un'altezza minore.

 

Esempio svolto sulla legge di Stevino

 

Proviamo a risolvere il seguente esercizio: un sottomarino è immerso in mare ad una profondità di 80 metri. Tralasciando la pressione atmosferica, con quale forza l'acqua spinge un suo oblò di diametro pari a 30 cm?

 

Svolgimento: calcoliamo la pressione esercitata dall'acqua con la legge di Stevino:

 

p=\rho gh=\left(1030 \: \frac{\mbox{kg}}{\mbox{m}^3}\right) \cdot \left(9,81 \: \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}\right) \cdot (80 \mbox{ m})\simeq 808344 \mbox{ Pa}

 

Ora, grazie alla definizione di pressione, possiamo calcolare la forza:

 

p=\frac{F_{\perp}}{S}

 

da cui ricaviamo la formula inversa ed usiamo la formula per l'area del cerchio

 

F_{perp} = pS = pr^2\pi = (808344 \mbox{ Pa}) \cdot (0,15 \mbox{ m})^{2} \pi \simeq 5,71 \cdot 10^{4}\mbox{ N}

 

 


 

È tutto! :) Più avanti tratteremo l'equivalente della legge di Stevino per i fluidi comprimibili e, nel farlo, avremo anche modo di proporre una dimostrazione della legge di Stevino. Se volete esercitarvi, ricordate che qui su YM ci sono migliaia di esercizi svolti e che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna.

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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