Fluidi comprimibili

Un fluido comprimibile, detto anche fluido compressibile, è un tipo di fluido che può essere compresso. Tipicamente gli unici fluidi comprimibili sono i gas e sono soggetti ad una legge di pressione di tipo esponenziale diversa dalla legge di Stevino.

 

Nelle righe che seguono diamo una definizione di fluido comprimibile e vediamo qual è la principale caratteristica che li contraddistingue. Fatto ciò, introdurremo l'equivalente della legge di Stevino e la corrispondente formula esponenziale per la pressione nei fluidi incomprimibili.

 

A proposito: nel darne la dimostrazione avremo anche modo di dimostrare la legge di Stevino. ;)

 

Definizione di fluido comprimibile

 

Cerchiamo innanzitutto di capire quali sono i fluidi comprimibili. Sappiamo che col termine fluidi si indicano sia i liquidi sia i gas. Sappiamo anche che i liquidi sono di fatto incomprimibili, cioè non è possibile far variare la loro densità, mentre i gas si possono comprimere con una certa facilità.

 

Ciò significa ad esempio che l'aria può assumere diversi valori di densità, motivo per il quale si specifica che il valore di 1,29 kg/m3 rappresenta la densità dell'aria in condizioni standard, ossia al livello del mare a 0°C.

 

In buona sostanza possiamo quindi dire che i fluidi comprimibili sono i gas, e la loro caratteristica di comprimibilità si traduce nella possibilità di variarne il valore di densità.

 

Legge per la pressione nei fluidi comprimibili

 

Se un fluido è comprimibile, la pressione non varia in funzione della profondità secondo la legge di Stevino, bensì con una legge diversa:

 

p(z)=p_0e^{- \frac{\rho_0g}{p_0}z}

 

dove con z intendiamo la quota, ossia l'altezza a cui ci troviamo partendo dal fondo, e non la profondità come nel caso della legge di Stevino. p_0 invece rappresenta la pressione ad una quota di riferimento, e \rho_0 indica il valore di densità del fluido alla medesima quota di riferimento.

 

A ben vedere noi abbiamo già avuto a che fare con la legge per la pressione nei fluidi comprimibili che abbiamo scritto qui sopra. Nella lezione dedicata alla pressione atmosferica abbiamo infatti riportato la formula di tipo esponenziale

 

p=p_0e^{-\frac{z}\alpha}

 

Nel confronto delle due formule si vede che il parametro \alpha è uguale a:

 

\alpha=\frac{p_0}{g\rho_0}

 

Ad esempio, se proviamo a calcolare il valore del parametro \alpha nel caso dell'atmosfera, dobbiamo considerare come livello di partenza quello del mare, per cui risulta p_0=101325\mbox{ Pa} mentre il valore di densità dell'aria al livello del mare è dato da \rho_0=1,29\ \frac{\mbox{kg}}{m^3}

 

\alpha_{atm}=\frac{101325\mbox{ Pa}}{\left(9,81\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}\right)\cdot \left(1,29\ \frac{\mbox{kg}}{\mbox{m}^3}\right)}\simeq 8006\mbox{ m}

 

che è il valore che abbiamo indicato nella lezione sulla pressione atmosferica. Si noti che l'unità di misura del parametro che compare nella legge di pressione per i fluidi comprimibili è proprio il metro; da un punto di vista didattico può essere utile effettuare l'analisi delle unità di misura che compaiono nella formula (da non confondere con l'analisi dimensionale)

 

\frac{\mbox{Pa}}{\frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}\cdot \frac{\mbox{kg}}{\mbox{m}^3}}

 

Applichiamo la regola per le frazioni di frazioni e ricordiamoci che il pascal è definito come rapporto tra 1 newton ed 1 metro quadrato

 

\frac{\frac{\mbox{N}}{\mbox{m}^2}}{\frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}\cdot \frac{\mbox{kg}}{\mbox{m}^3}}=\frac{\mbox{N}}{\mbox{m}^2}\cdot \frac{\mbox{s}^2}{\mbox{m}}\cdot \frac{\mbox{m}^3}{\mbox{kg}}

 

D'altra parte dalla seconda legge di Newton sappiamo che il newton è il prodotto tra il chilogrammo ed il metro al secondo quadrato. Con un'opportuna semplificazione ricaviamo

 

\frac{\mbox{N}\cdot \mbox{s}^2}{\mbox{kg}}=\frac{\mbox{kg}\cdot \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}\cdot \mbox{s}^2}{\mbox{kg}}=\mbox{m}

 

Dimostrazione della legge esponenziale per i fluidi comprimibili

 

Vediamo ora come si ricava la legge esponenziale per la pressione nei fluidi comprimibili; premettiamo che la dimostrazione si rivolge unicamente agli universitari, per cui gli studenti delle scuole superiori possono limitarsi a leggerla per pura curiosità. ;)

 

Consideriamo un volume infinitesimo dV di fluido di base A e spessore dh.

 

 

Fluidi comprimibili

Volume infinitesimo di fluido.

 

 

Sulla superficie superiore si applica una forza data dal prodotto della pressione p e della superficie A, ossia

 

F_{sup}=pA

 

mentre sulla faccia inferiore si applica una forza maggiore perché la pressione è più alta:

 

F_{inf}=(p+dp)A

 

Vi ricordate il metodo per studiare i sistemi soggetti all'equilibrio delle forze? In questo caso oltre alle due forze dovute alla pressione bisogna considerare anche la forza peso del volumetto di fluido

 

F_p=gdm

 

Se il fluido è in equilibrio vuol dire che la somma di tutte le forze, ognuna col proprio segno, deve essere nulla.

 

\vec{F}_{sup}+\vec{F}_{inf}+\vec{F}_{p}=\underline{0}

 

Se consideriamo un sistema di riferimento unidimensionale con origine corrispondente alla superficie superiore e verso delle coordinate crescenti rivolto verso il basso, potremo riscrivere la notazione vettoriale specificando i segni dei termini coinvolti. Forze rivolte verso il basso positive, forze rivolte verso l'alto negative:

 

pA-(p+dp)A+gdm=0

 

da cui

 

gdm-Adp=0

 

Grazie alla definizione di densità, la forza peso può essere riscritta come dmg=\rho gdV

 

\rho gdV-Adp=0

 

Di conseguenza:

 

dp=\frac{\rho gdV}{A}

 

Ma dV è il volume di un parallelepipedo ed è dato dal prodotto dell'area di base A per l'altezza infinitesima dh, per cui:

 

dp=\frac{\rho gdV}{A}=\frac{\rho gAdh}{A}\ \ \to\ \ dp=\rho gdh

 

Abbiamo di fatto dimostrato la legge di Stevino per variazioni infinitesime di pressione. Si noti come, nel caso dei fluidi incomprimibili (i liquidi), la densità rimanga costante a qualsiasi profondità h e quindi la precedente relazione si estende automaticamente come p=\rho gh.

 

A noi però interessano i fluidi comprimibili, e per questi vale la seguente relazione (formula pressione-densità per fluidi comprimibili)

 

\frac{p}{p_0}=\frac{\rho}{\rho_0}

 

da cui

 

\rho=\frac{p}{p_0}\rho_0\ \ \ (\bullet)

 

Ora, se consideriamo un sistema di riferimento unidimensionale con origine corrispondente alla superficie inferiore e verso crescente delle coordinate rivolto verso l'alto, possiamo riscrivere la legge di Stevino non in funzione della profondità h ma della quota z

 

dp=-\rho gdz

 

Il segno meno ci dice che più ci spostiamo in alto, più la pressione diminuisce. Sostituiamo in questa equazione la relazione \bullet che abbiamo ricavato prima per la densità \rho:

 

dp=-\frac{p}{p_0}\rho_0gdz

 

Abbiamo così un'equazione differenziale a variabili separabili:

 

\frac{dp}{p}=-\frac{\rho_0}{p_0}gdz

 

che possiamo integrare:

 

\int_{p_{0}}^{p}{\frac{dp}{p}} = - \int_{0}^{z}{\frac{\rho_{0}}{p_{0}} g dz}

 

La tabella degli integrali fondamentali viene in nostro soccorso:

 

\ln |p(z)|-\ln|p_0|= - \frac{\rho_{0}}{p_{0}} gz

 

Poiché la pressione è certamente non negativa possiamo eliminare il valore assoluto, ed inoltre applicando una nota proprietà dei logaritmi

 

\ln \left( \frac{p(z)}{p_{0}} \right) = - \frac{\rho_{0}}{p_{0}} gz

 

In accordo con la definizione di logaritmo applichiamo l'esponenziale ad entrambi i membri

 

 \frac{p(z)}{p_{0}} = e^{- \frac{\rho_{0}g}{p_{0}} z}

 

e ci siamo

 

p(z) = p_{0} e^{- \frac{\rho_{0}g}{p_{0}} z}

 

Ecco che siamo giunti alla formula per la pressione nei fluidi comprimibili che abbiamo scritto all'inizio di questa lezione. Sottolineamo il fatto che la pressione descresce esponenzialmente con l'altezza solo se si considera un fluido in condizioni isoterme, ovvero con la medesima temperatura a qualunque altezza.

 

 


 

La lezione si conclude qui, nella successiva studieremo l'equilibrio statico nei fluidi. Come di consueto vi raccomandiamo l'uso della barra di ricerca interna per reperire tutto quello che vi serve qui su YM: ci sono migliaia di esercizi svolti e spiegati nel dettaglio. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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