Equilibrio statico dei fluidi

L'equilibrio statico di un fluido è una condizione di equilibrio in cui la risultante delle forze agenti su ogni singolo elemento di fluido è nulla; tale condizione equivale all'uguaglianza tra il gradiente della pressione e il prodotto tra la densità e l'accelerazione.

 

L'argomento che ci apprestiamo a trattare è l'equivalente idrostatico dell'equilibrio delle forze che abbiamo studiato in Dinamica, o meglio ne costituisce una particolarizzazione. Partendo dalla ben nota condizione di equilibrio vedremo come essa si traduce in una particolare relazione tra pressione e accelerazione degli elementi che costituiscono i fluidi, da cui la formula per l'equilibrio statico dei fluidi di cui successivamente forniremo una dimostrazione.

 

Nota bene: dato che l'argomento in questione richiede una trattazione matematica piuttosto avanzata, questa lezione si rivolge esclusivamente agli studenti universitari. Gli studenti delle scuole superiori possono passare direttamente alla lezione successiva, in cui ci concentreremo sull'equilibrio statico dei fluidi in presenza di gravità.

 

Condizione di equilibrio statico dei fluidi

 

Cosa significa che un fluido è in equilibrio statico? Significa che tutti i suoi elementi hanno velocità e accelerazione nulle, in un certo sistema di riferimento inerziale.

 

In accordo con la seconda legge di Newton tale condizione si traduce nel fatto che la somma di tutte le forze che agiscono su un qualsiasi volume infinitesimo dV di massa dm di fluido debba essere nulla.

 

Le forze in campo possono essere di due tipi: le forze di pressione, dovute appunto alla pressione che il fluido circostante esercita sul volume dV, e le forze di volume che si applicano a tutto il volume dV (come ad esempio la forza peso).

 

In questa situazione, come dimostreremo tra poco, il gradiente della pressione intesa come funzione di tre variabili reali a valori reali

 

p:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R},\ p=p(x,y,z)

 

è uguale al prodotto della densità per l'accelerazione che il volume infinitesimo dV subisce per il solo effetto delle forze di volume.

 

Possiamo riassumere ciò che abbiamo appena scritto nella cosiddetta formula per l'equilibrio statico dei fluidi:

 

\nabla p=\rho\vec{a}

 

Prima di procedere con la dimostrazione è opportuno analizzare il significato fisico-matematico della formula che descrive l'equilibrio statico dei fluidi.

 

Ricordando il significato geometrico del gradiente di una funzione, secondo cui il gradiente rappresenta il vettore che con la direzione di massima crescita, ne consegue che in condizione di equilibrio statico la pressione nel fluido cresce nella direzione e nel verso in cui è diretto il vettore accelerazione.

 

In particolare se l'accelerazione è nulla, e quindi se sono nulle le forze di volume (per esempio se siamo nello spazio in assenza di peso), allora sarà necessariamente nullo il gradiente della pressione, e dunque non saranno presenti variazioni di pressione.

 

Possiamo considerare nulle le variazioni di pressione anche nel caso in cui la densità del fluido sia così bassa da poter di fatto considerare il termine \rho\vec{a} nullo. È per esempio il caso dell'atmosfera: se consideriamo oggetti della vita di tutti i giorni, la loro estensione di volume non è tale da rendere apprezzabile una differenza di pressione tra la superficie superiore e quella inferiore, sebbene tale differenza esista.

 

Dimostrazione della formula per l'equilibrio statico dei fluidi

 

Vediamo come ricavare la formula per l'equilibrio statico dei fluidi. Consideriamo un cubo infinitesimo di fluido di volume dV, massa dm, superficie laterale dS e densità \rho.

 

 

Equilibrio statico di un fluido

Un volume infinitesimo di fluido in equilibrio statico.

 

 

Per cominciare dobbiamo partire dal presupposto che la pressione possa variare lungo qualunque direzione. Guardiamo soltanto l'asse z: in generale la pressione che si esercita sulla faccia superiore non è uguale a quelle che si esercita sulla faccia inferiore, e ciò implica che anche la forze su tali facce non siano uguali.

 

La forza risultante di pressione è dunque data dalla differenza tra la forza che si esercita dall'alto e quella che si esercita dal basso. Se chiamiamo l'altezza del cubo dz possiamo esprimere tale differenza in accordo con il sistema di riferimento proposto in figura

 

\vec{F}_{p,z}=\vec{F}_{p,z,inf}+\vec{F}_{p,z,sup}=

 

Poiché stiamo ragionando lungo uno specifico asse possiamo esprimere la precedente relazione vettoriale esplicitando i segni

 

=F_{p,z,inf}-F_{p,z,sup}=

 

e, grazie alla definizione di pressione

 

=p(z) dS - p(z + dz)dS=

 

Ora dobbiamo effettuare un passaggio piuttosto delicato che, per questioni didattiche, viene solitamente dato per buono poiché richiede una conoscenza approfondita dei differenziali in più variabili. Si tratta di esprimere p(z+dz) nella forma p(z+dz)=\frac{\partial p(z)}{\partial z}dz.

 

In termini molto grossolani, possiamo esprimere la pressione alla quota z+dz tramite il prodotto tra la variazione di pressione lungo l'asse z e l'incremento infinitesimo di quote dz.

 

Si noti inoltre che abbiamo usato la derivata parziale rispetto a z perché la pressione è funzione di tutte e tre le coordinate spaziali. 

 

\\ =\left[p(z)-\left(p(z)+\frac{\partial p}{\partial z}dz\right)\right]dS=\\ \\ \\ =- \frac{\partial p}{\partial z}dz dS=-\frac{\partial p}{\partial z}dV

 

Nell'ultimo passaggio abbiamo solo scritto che il prodotto della superficie dS per l'altezza dz del cubetto è uguale al suo volume dV.

 

Se abbiamo una forza di volume \vec{F}_V qualsiasi (la forza peso o qualunque altra forza si possa applicare al cubetto) possiamo scrivere lungo l'asse z:

 

 F_{V,z} = a_{z}dm = a_{z} \rho dV

 

dove ci siamo limitati a considerare la componente lungo l'asse z della forza \vec{F}_V, e abbiamo sostituito la massa dm col prodotto \rho dV secondo la definizione di densità.

 

Se il cubetto è in equilibrio statico allora la somma della forze deve essere nulla, per cui devono essere nulle tutte le componenti della forza risultante. In altri termini la forza di volume deve compensare necessariamente la forza di pressione risultante su ciascuna componente. Indicando con \vec{F}_{p,z} la forza di pressione e con \vec{F}_{V,z} quella di volume, deve valere la seguente relazione:

 

F_{p,z}+F_{V,z}=0

 

Sostituiamo quanto abbiamo trovato in precedenza in quest'ultima equazione:

 

 - \frac{\partial p}{\partial z}dV  + a_{z} \rho dV = 0

 

da cui

 

\frac{\partial p}{\partial z}  = a_{z} \rho

 

Possiamo ripetere lo stesso identico ragionamento anche per le direzioni x,y, ottenendo dei risultati del tutto analoghi a quelli ottenuti per le componenti lungo l'asse z.

 

\\ \frac{\partial p}{\partial x}  = a_{x} \rho\\ \\ \\ \frac{\partial p}{\partial y}  = a_{y} \rho

 

Mettendo assieme tutte le derivate parziali tra di loro in un'unica notazione vettoriale otteniamo proprio il gradiente della pressione. Abbiamo così dimostrato che in condizioni di equilibrio statico di un fluido il gradiente della pressione coincide con il prodotto della densità per l'accelerazione, come abbiamo scritto all'inizio della lezione.

 

 \nabla p = \rho \vec{a}

 

 


 

Non perdetevi la prossima lezione, in cui ci considereremo il caso specifico della forza peso come forza di volume nel contesto dell'equilibrio statico. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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