Equilibrio statico dei fluidi in presenza della gravità

L'equilibrio statico dei fluidi soggetti a gravità è la particolarizzazione dell'equilibrio statico nel caso in cui l'unica forza di volume agente sul fluido sia la forza peso, e permette di dimostrare la legge di Stevino nel caso in cui il fluido abbia densità costante.

 

Dopo aver trattato l'equilibrio statico dei fluidi da un punto di vista teorico e nel caso più generale possibile vogliamo concentrarci sul caso pratico della forza di gravità. Riprendendo la formula del gradiente della pressione che già conosciamo, vedremo come essa si traduca nella forma generale della legge di Stevino.

 

Equilibrio statico dei fluidi con la gravità

 

Nella lezione precedente, dedicata all'equilibrio statico dei fluidi e rivolta ai soli studenti universitari, abbiamo visto che il gradiente della pressione è uguale al prodotto della densità per l'accelerazione che una porzione di fluido subisce per via di generiche forze di volume.

 

 \nabla p = \rho \vec_{a}

 

Ora vogliamo adattare questa formula generica al caso specifico in cui la forza di volume sia la forza peso. Questo caso ci interessa particolarmente perché è quello che si sperimenta quotidianamente, in quanto la forza peso è sempre presente e si applica ai fluidi come su qualunque altro corpo dotato di massa.

 

Formule per l'equilibrio statico dei fluidi con la forza peso

 

Consideriamo un sistema di riferimento dato da una terna cartesiana e indichiamo con z, come sempre, l'asse verticale lungo il quale si esercita la forza peso. Essa ci darà una componente di accelerazione diretta unicamente lungo l'asse z verso il basso, cosicché ragionando in termini vettoriali potremo esprimere l'accelerazione specificando il segno

 

a=-g

 

Le componenti della forza di gravità saranno ovviamente nulle lungo gli assi x\mbox{ e }y.

 

L'equazione del gradiente può così essere ridotta alla sola componente z, che è quindi l'unica direzione in cui possiamo rilevare variazioni di pressione.

 

 \frac{dp}{dz} = -\rho g

 

dove g è l’accelerazione di gravità. Nella lezione precedente, presupponendo in linea generale che la pressione potesse variare lungo qualunque direzione, abbiamo fatto uso delle derivate parziali; qui invece la pressione è funzione della sola variabile z e pertanto possiamo ricorrere alle normali derivate di funzioni di una sola variabile.

 

Quella che abbiamo appena scritto è un'equazione differenziale a variabili separabili che possiamo risolvere semplicemente separando le variabili p,z

 

 dp = - \rho g dz

 

e, integrando ad ambo i membri:

 

\int_{p_{1}}^{p_{2}}{dp} = - \int_{z_{1}}^{z_{2}}{\rho g dz}

 

Poiché possiamo considerare l'accelerazione di gravità g come una costante, possiamo portarla fuori dal segno di integrale in forza delle proprietà degli integrali. Se poi consideriamo la densità del fluido costante, anche \rho può essere portata fuori dall'integrale: tale ipotesi è corretta nel caso dei liquidi, che sono molto difficili da comprimere e, nonostante siano sottoposti a forti pressioni, variano di molto poco il proprio valore di densità.

 

\\ \int_{p_{1}}^{p_{2}}{dp} = - \rho g \int_{z_{1}}^{z_{2}}{dz}\\ \\ \\ p_{2} - p_{1} = - \rho g (z_{2} - z_{1})

 

Ora cerchiamo di esprimere la differenza di pressione che abbiamo trovato non in funzione dell'altezza z, bensì della profondità h all'interno del fluido. Per far ciò consideriamo ad esempio un liquido all'interno di un contenitore e ribattezziamo le grandezze dell'ultima equazione come in figura.

 

 

Equilibrio statico di un fluido in presenza di gravità

 

 

 

Così facendo otteniamo

 

 p_{0} - p(h) = -\rho g (0 - h)

 

da cui

 

p(h) = p_{0} + \rho gh

 

Quella che abbiamo trovato è la legge di Stevino nel suo caso più generale che prevede anche un'eventuale pressione iniziale p_0, come ad esempio la pressione atmosferica se volessimo calcolare la pressione ad una certa profondità in mare.

 

Osservazioni finali: equilibrio statico e legge di Stevino

 

Di fatto, queste ultime due lezioni sono state la premessa e la dimostrazione più corretta e rigorosa della legge di Stevino. Da osservare che tale legge è valida:

 

- in presenza della forza di gravità;

 

- nell'ipotesi che la densità del fluido sia costante.

 

Concludiamo dicendo che, poiché la pressione dipende solo dalla profondità, in qualunque punto su una superficie disposta orizzontalmente si ha la stessa pressione. Tutte le superfici orizzontali sono quindi isobariche, nel senso che su tali superfici la densità è costante.

 

 


 

Non perdetevi la prossima lezione: ci occuperemo di un'applicazione semplice ed estremamente pratica, quella dei vasi comunicanti. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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