Vasi comunicanti

Il principio dei vasi comunicanti è un comportamento di due o più vasi riempiti con un liquido e collegati tra loro, per cui il liquido in forza della legge di Stevino raggiunge la stessa altezza in ognuno dei vasi comunicanti quando raggiunge la condizione di equilibrio.

 

Prima di proseguire con lo studio delle leggi dell'Idrostatica vogliamo soffermarci, qui e nelle successive lezioni, su alcune importanti applicazioni pratiche. La prima di cui ci occupiamo è la teoria dei vasi comunicanti, che trova applicazione in un grande numero di fenomeni fisici, nella vita quotidiana e nientepopodimeno che a livello industriale (dagli acquedotti romani agli impianti idrici moderni!).

 

Principio dei vasi comunicanti

 

Il principio dei vasi comunicanti è uno dei più semplici nello studio della fluidostatica. Prendiamo più contenitori di diversa forma e altezza e mettiamoli in comunicazione nel fondo, cosicché il fluido al loro interno (come ad esempio un liquido) sia libero di muoversi da un contenitore all’altro.

 

 

Vasi comunicanti

Quattro vasi comunicanti con diverse forme
ed uno stesso liquido in equilibrio.

 

 

Bene, ora effettuiamo una semplice prova: il cosiddetto esperimento dei vasi comunicanti. Se versiamo un liquido in uno qualunque dei contenitori, esso inizierà non solo a riempire il contenitore nel quale lo stiamo versando, ma anche gli altri grazie al fatto che tutti i contenitori sono in comunicazione tra di loro.

 

Una volta che abbiamo finito di versare il liquido, raggiungiamo una situazione di equilibrio in cui il liquido è fermo e non scorre più attraverso il canale posto in basso. In questa situazione di equilibrio possiamo constatare come funziona il principio dei vasi comunicanti: il liquido ha raggiunto la medesima altezza in tutti i contenitori indipendentemente dalla loro forma. Le superfici libere del liquido si trovano tutte sullo stesso piano.

 

Se abbiamo due contenitori comunicanti in cui uno stesso liquido presenta le superfici libere a due altezze diverse, significa che non siamo in una situazione di equilibrio e pertanto il liquido tenderà a muoversi dal contenitore col livello più alto verso quello col livello più basso fino a quando i due livelli non saranno gli stessi.

 

È importante ribadire quali sono le condizioni per il principio dei vasi comunicanti che abbiamo preso in considerazione. Le superfici libere raggiungono lo stesso livello in situazione d'equilibrio:

 

- indipendentemente dalla forma dei vasi comunicanti;

 

- a patto che nei vasi sia presente un solo liquido;

 

- a patto che i vasi siano abbastanza ampi in modo da evitare l'azione di disturbo esercitata dalle pareti interne sulla superficie libera. Il principio dei vasi comunicanti non vale nel caso dei capillari, ossia vasi con sezioni piccole. 

 

Teoria del principio dei vasi comunicanti

 

Cerchiamo di capire quali leggi fisiche inducano il comportamento del liquido che abbiamo immaginato di versare nei vasi. Perché il liquido si dispone alla stessa altezza in tutti i contenitori? Lo si può capire dalla legge di Stevino: sappiamo che la pressione dipende dalla profondità, il che significa che a profondità diverse corrispondono pressioni diverse.

 

Se ad esempio nel primo contenitore avessimo una colonna di liquido più alta rispetto al secondo, sul fondo del primo contenitore avremmo anche una pressione maggiore rispetto a quella agente sul fondo del secondo. Se vi è una differenza di pressione tra due punti, il liquido non rimane fermo ma si sente spinto dal punto con la pressione maggiore verso il punto con la pressione minore. Così, la colonna di liquido nel primo contenitore scende e sale quella nel secondo.

 

L'equilibrio si raggiunge quando il liquido smette di scorrere tra un contenitore e l'altro: ciò accade quando le pressioni sul fondo di entrambi i contenitori sono uguali e questa situazione si realizza solo se le due colonne di liquido hanno la medesima altezza in entrambi i contenitori.

 

Non c'è quindi nulla di misterioso nel principio fisico che abbiamo appena esposto: il comportamento dei vasi comunicanti è semplicemente data dalla legge di Stevino, che induce i liquidi a raggiungere una condizione di equilibrio.

 

Dimostrazione e formule dei vasi comunicanti

 

Vediamo di dimostrare la tesi del principio dei vasi comunicanti partendo dal presupposto per cui la legge di Stevino induce il liquido alla condizione di equilibrio. Senza ledere in generalità consideriamo due vasi in comunicazione tra loro.

 

In condizione di equilibrio le pressioni p_1,p_2 agenti sul fondo dei due vasi sono le stesse, per cui

 

p_1=p_2

 

Dalla legge di Stevino possiamo esprimere le pressioni agenti sul fondo dei vasi comunicanti, tenendo presente che essi sono aperti e dunque le superfici libere sono soggette all'azione della pressione atmosferica p_0

 

p_0+\rho g h_1=p_0+\rho g h_2

 

Ovviamente la densità e l'accelerazione di gravità sono le stesse. Rimane così

 

h_1=h_2

 

Abbiamo quindi dimostrato che la legge di Stevino fa sì che i vasi comunicanti presentino superfici libere alla stessa altezza una volta raggiunta la condizione di equilibrio.

 

Nelle lezioni successive ed in particolare in quella sui tubi a U vedremo qual è il comportamento di due vasi comunicanti quando essi vengono riempiti con due liquidi diversi.

 

Spiegazione rigorosa del principio dei vasi comunicanti

 

Un modo più sofisticato di approcciare il problema è il seguente. Nella lezione sull'equilibrio statico dei fluidi, rivolta ai soli studenti universitari, abbiamo visto che il gradiente della pressione è uguale al prodotto della densità per l'accelerazione che un volumetto di fluido subisce per via delle forze di volume.

 

 \nabla p = \rho \vec_{a}

 

Successivamente nella lezione sull'equilibrio statico dei fluidi soggetti alla gravità abbiamo scoperto che, se siamo in presenza della forza peso, possiamo scrivere:

 

 \nabla p = \rho \vec_{g}

 

Ricordiamoci però che la forza peso è uguale all'opposto del gradiente dell'energia potenziale: la forza peso è diretta nel verso opposto (verticalmente verso il basso) rispetto alla direzione di massima crescita dell'energia potenziale (verticalmente verso l'alto).

 

 \vec{F}_{p} = - \nabla E_{p}

 

da cui, essendo \vec{F}=m\vec{g}

 

\vec{g} = - \frac{1}{m} \nabla E_{p}

 

Sostituendo tale espressione dell'accelerazione di gravità nella formula per il gradiente della pressione, si ottiene:

 

 \nabla p = - \frac{\rho}{m} \nabla E_{p}

 

Il gradiente dalla pressione ha quindi la stessa direzione del gradiente dell'energia potenziale, ma verso opposto, in perfetto accordo con l'esperienza fisica: l'energia potenziale cresce verso l'alto, mentre la pressione cresce verso il basso.

 

Le superfici perpendicolari al gradiente dell'energia potenziale sono superfici orizzontali in cui ogni punto presenta lo stesso valore di pressione. Poiché il gradiente di pressione è parallelo a quello dell’energia, allora le superficie equipotenziali sono anche isobariche, cioè con lo stesso valore di pressione in tutti i punti. Questo vuol dire che per avere la stessa pressione in due vasi comunicanti il liquido si deve disporre lungo una superficie isobarica, o equivalentemente una superficie perfettamente orizzontale.

 

In altri termini, per avere la condizione di equilibrio nei vasi comunicanti deve formare superfici libere aventi tutte la medesima altezza.

 

 


 

Nella lezione succesiva spiegheremo nel dettaglio in cosa consiste il cosiddetto paradosso idrostatico. Nel frattempo se siete in cerca di esercizi svolti vi suggeriamo di usare la barra di ricerca interna, perché qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e commentati nel dettaglio. :)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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