Tubi a U

Un tubo a U in Fisica è un sistema costituito da due vasi comunicanti, aperti in entrambe le estremità o con una di esse chiusa, in cui vengono versati due liquidi diversi: il liquido con densità minore occupa il proprio ramo raggiungendo un'altezza maggiore.

 

Nella lezione sui vasi comunicanti ci siamo occupati del relativo principio e sappiamo che, versando un solo liquido in un sistema di vasi comunicanti, esso raggiunge la medesima altezza in ciascun vaso. In questo modo la superficie libera raggiunge in ciascuno di essi la stessa altezza e tutte le superfici libere sono equipotenziali ed isobare.

 

Ora vogliamo considerare un particolare sistema, quello di un cosiddetto tubo ad U, e vedere cosa succede quando riempiamo i due vasi con due liquidi diversi. Oltre a fornire un ottimo spunto per applicare la teoria dell'Idrostatica studiata fino a qui, il modello dei tubi ad U è molto importante perché trova molti riscontri e applicazioni pratiche, tra cui ad esempio il tubo manometrico che viene utilizzato per misurare la pressione dei fluidi.

 

Spiegazione sui tubi ad U

 

Un tubo ad U è un tubo incurvato in modo da avere due parti rivolte verso l'alto e comunicanti tra di loro, entrambe aperte oppure con un'estremità aperta ed una chiusa. Quando un liquido viene versato in un lato del tubo, esso fluisce da sotto anche nell'altro.

 

 

Tubo a U

Un tubo ad U con estremità aperte.

 

 

Nelle applicazioni normalmente si considerano tubi ad U in cui non viene versato un solo liquido, perché si creerebbe una situazione priva di interesse: il fluido infatti si disporrebbe alla stessa altezza nei due lati del tubo in accordo con il principio dei vasi comunicanti.

 

Piuttosto, in un tubo ad U vengono versati due o più liquidi non miscibili tra loro, cioè tali da non mescolarsi e tali da rimanere separati, come nel caso di olio e acqua. Essendo diversi i due liquidi hanno diverse densità e di conseguenza all'equilibrio si dispongono lungo il tubo in modo da avere le superfici libere disposte a due altezze diverse nei rispettivi rami del tubo.

 

Condizione di equilibrio e formule per i tubi ad U aperti

 

Il primo caso che analizziamo è quello di un tubo ad U aperto, in cui entrambe le estremità superiori sono a contatto con l'aria. Il nostro obiettivo consiste nello scrivere le formule del tubo ad U che descrivono l'equilibrio del sistema; per farlo facciamo riferimento ad un esempio pratico e cerchiamo di capire come studiare la condizione di equilibrio.

 

In un tubo a U dell'acqua riempie il ramo di destra fino ad un'altezza di 15 centimetri, mentre dell'olio riempie il ramo di sinistra come in figura.

 

 

Tubo ad U con due liquidi distinti

Un tubo ad U con acqua e olio in equilibrio.

 

 

I due rami sono aperti lasciando le superfici libere dei liquidi a contatto con l'aria. Quale altezza raggiunge la colonna d'olio nel ramo sinistro?

 

Il principio dei tubi ad U è che, quale che sia l'altezza che si considera, in condizione di equilibrio la pressione nei due rami è uguale a parità di altezza. Attenzione qui a non confondere l'altezza con la profondità; l'altezza viene calcolata dalla base del tubo, la profondità viene misurata in ciascuno dei due rami a partire dalla superficie libera di riferimento.

 

Scegliamo allora un livello conveniente e facile da impostare: la linea di separazione tra i due liquidi. Chiamiamo con A e B due punti su tale linea nei due rami del tubo. L'equazione che ci permette di esaudire la richiesta dell'esercizio è semplicissima, basta infatti eguagliare le pressioni in A e B

 

p_A=p_B

 

Per calcolare le due pressioni, facciamo uso della legge di Stevino tenendo conto anche della pressione atmosferica che preme dall'alto entrambi i liquidi, visto che il tubo è aperto in alto lasciando i liquidi a contatto con l'aria.

 

Se chiamiamo h_o (olio) la profondità della linea di separazione nel ramo sinistro e h_a (acqua) la profondità della linea di separazione nel ramo destro, ricaviamo

 

 \rho_{o} gh_{o} + p_{atm} = \rho_{a} gh_{a} + p_{atm}

 

Importante: notate inoltre che le profondità delle linee di separazione nei rispettivi rami sono proprio le altezze dei rispettivi rami misurate a partire dalla linea di separazione (h_o,h_a), le quali non vanno confuse con l'altezza della linea di separazione misurata dalla base.

 

Si vede subito che la pressione atmosferica può essere eliminata dall'equazione perché compare in entrambi i membri. In generale possiamo dire che questo accade sempre quando il tubo è aperto in entrambi i rami.

 

 \rho_{o} gh_{o} = \rho_{a} gh_{a}

 

Semplifichiamo anche l'accelerazione di gravità g:

 

 \rho_{o} h_{o} = \rho_{a} h_{a}

 

Ora ricaviamo h_o tenendo presente che la densità dell'olio nel nostro esempio è pari a 920 kg/m3. Nel calcolo esprimiamo l'altezza della colonna d'acqua in metri in modo da avere grandezze dimensionalmente coerenti

 

h_{o} = \frac{\rho_{a}}{\rho_{o}} h_{a} =\frac{1000 \ \frac{\mbox{kg}}{\mbox{m}^3}}{920\ \frac{\mbox{kg}}{\mbox{m}^3}}\cdot 0,15\mbox{ m}\simeq 0,163\mbox{ cm}

 

Come vedete, il liquido meno denso (l'olio) è quello che ricopre un'altezza maggiore (16,3 cm).

 

 

Osservazioni sui tubi ad U aperti

 

La generalità del precedente esempio ci permette di dedurre diverse importanti informazioni relative alla condizione di equilibrio nei tubi ad U.

 

1) Se riscriviamo la formula per l'equilibrio con due liquidi 1 e 2

 

 \rho_1h_1=\rho_2h_2

 

nella forma

 

\frac{\rho_1}{\rho_2}=\frac{h_2}{h_1}

 

si vede subito che le altezze raggiunte dai due liquidi sono inversamente proporzionali alle loro densità: al crescere della densità di uno dei due liquidi diminuisce l'altezza che raggiunge, e viceversa al diminuire della densità aumenta l'altezza raggiunta.

 

2) Come ovvia conseguenza di quanto appena scritto, all'equilibrio il liquido più denso si porta ad un'altezza minore rispetto al liquido meno denso, che si porta ad un'altezza maggiore.

 

3) Se consideriamo un unico liquido 1 in entrambi i rami, dalla formula precedentemente scritta ricaviamo

 

h_1=h_1

 

ossia il principio dei vasi comunicanti.

 

Condizione di equilibrio e formule per i Tubi ad U con un'estremità chiusa

 

Ora vediamo di ragionare nel caso di un tubo ad U con una estremità chiusa e, esattamente come in precedenza, facciamo riferimento ad un esempio concreto. Abbiamo un tubo a U riempito con acqua e un altro liquido di densità ignota, come in figura.

 

 

Tubo ad U con una estremità chiusa

Un tubo ad U con un'estremità chiusa
e due liquidi diversi in equilibrio.

 

 

A destra il tubo è chiuso e contiene del gas che esercita una pressione di 1,2 atm, mentre a sinistra è aperto. Vogliamo calcolare la densità del liquido ignoto.

 

Anche in questo caso vale il principio dei tubi ad U: indipendentemente dall'altezza considerata, le pressioni nei due rami sono uguali a parità di altezza, dove l'altezza si intende rispetto alla base del tubo.

 

Come prima impostiamo l'uguaglianza tra le due pressioni scegliendo come livello di riferimento la linea di separazione tra i due liquidi:

 

p_A=p_B

 

e applichiamo la legge di Stevino indicando con h_L,h_a le profondità della linea di separazione nei due rami, vale a dire l'altezza delle due colonne di liquido misurate a partire dalla lienea di separazione.

 

 \rho_{L} gh_{L} + p_{atm} = \rho_{a} gh_{a} + p_{gas}

 

Questa volta non possiamo eliminare la pressione atmosferica. Non conosciamo l'altezza della colonna di acqua ma possiamo riscriverla come la differenza tra quella del liquido ignoto e il dislivello h tra le due superfici dei liquidi:

 

 \rho_{L} gh_{L} + p_{atm} = \rho_{a} g(h_{L} - h) + p_{gas}

 

Da qui possiamo ricavare la densità del fluido:

 

\\ \rho_L=\frac{\rho_{a} g(h_{L} - h)+p_{gas}-p_{atm}}{gh_{L}}=\\ \\ \\ =\frac{\left(1000\ \frac{\mbox{kg}}{\mbox{m}^3}\right)\cdot \left(9,81\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}\right)\cdot \left((0,26 - 0,17\right)\mbox{ m})+121590\mbox{ Pa}-101325\mbox{ Pa}}{\left(9,81\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}\right)\cdot(0,26\mbox{ m})}=\\ \\ \\ =8291\ \frac{\mbox{kg}}{\mbox{m}^3}

 

e abbiamo ricavato il dato richiesto. :)

 

 

Osservazioni sui tubi a U con un'estremità chiusa 

 

1) Nell'eventualità in cui un'estremità del tubo sia chiusa la condizione di equilibrio p_A=p_B non si traduce in una formula semplice come nel caso in cui entrambe le estremità siano aperte.

 

2) La situazione è più complessa anche riguardo ai livelli raggiunti dai due liquidi rispetto alle relative densità: molto dipende infatti dalla pressione esercitata dal gas nel ramo chiuso!

 

 


 

Nella successiva lezione presenteremo una celeberrima legge dell'Idrostatica, il principio di Archimede. Come di consueto se siete in cerca di esercizi svolti vi consigliamo di usare la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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