Teorema di Bernoulli

Il teorema di Bernoulli (o equazione di Bernoulli, o ancora principio di Bernoulli) in fluidodinamica è una relazione che lega la velocità di scorrimento, la pressione e la densità di un fluido tra loro in un tubo con sezioni e altezze variabili, individuando una costante nel moto dei fluidi ideali.

 

In questa lunga lezione affronteremo un'importantissimo teorema della fluidodinamica, la legge di Bernoulli. Oltre a fornirne l'enunciato e la relativa formula, ne analizzeremo ampiamente il significato fisico e le applicazioni pratiche e ne daremo una dimostrazione commentata in ogni singolo passaggio. ;)

 

Equazione di Bernoulli

 

L'equazione di Bernoulli è la legge più importante della fluidodinamica. Per introdurla consideriamo un condotto con sezione e altezza variabili, come in figura:

 

 

Equazione di Bernoulli

Un tubo con sezioni distinte e con le relative pressioni e velocità del fluido.

 

 

All'interno del condotto scorre un fluido ideale, dunque incomprimibile e non viscoso. Cosideriamo due punti del condotto, ognuno con una propria sezione S, una pressione p, una velocità di scorrimento del fluido v ed un'altezza h.

 

Indicando con \rho la densità del fluido, il teorema di Bernoulli ci dice che vale la seguente legge:

 

p_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2+\rho gh_1=p_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2+\rho gh_2

 

L'equazione di Bernoulli ci dice qual è la relazione tra la velocità del fluido, la sua pressione e l'altezza. In generale possiamo scrivere che:

 

p+\frac{1}{2}\rho v^2+\rho gh=\mbox{costante}

 

In altri termini, in qualunque punto del condotto ci si trovi, la somma dei tre termini che compaiono nell'equazione è costante.

 

Teorema di Bernoulli ed equazione di continuità

 

Quando ci si trova a dover affrontare esercizi con condotti che possono variare di sezione e di altezza, dobbiamo fare uso della legge di Bernoulli ed eventualmente dell'equazione di continuità, che continua a valere. Molto spesso bisogna usare le due equazioni mettendole a sistema per risolvere i problemi e gli esercizi.

 

 

Esempio sull'equazione di Bernoulli

 

In riferimento alla figura precedente, abbiamo un condotto dove la sezione S_2 è pari a quattro volte la sezione S_1. La differenza tra le pressioni p_2,p_1 è di 25000 pascal e l'altezza della sezione S_2 supera di 5 metri quella della sezione S_1. Vogliamo calcolare la velocità v_2.

 

Svolgimento: se osservate l'equazione di Bernoulli, vi accorgerete subito del fatto che da sola non può essere risolta perché entrambe le velocità sono incognite. Facciamo allora intervenire l'equazione di continuità in modo da avere un sistema di due equazioni in due incognite.

 

 \begin{cases} v_{1}S_{1} = v_{2}S_{2} \\ p_{1} + \frac{1}{2} \rho v_{1}^{2} + \rho gh_{1} = p_{2} + \frac{1}{2} \rho v_{2}^{2} + \rho gh_{2} \end{cases}

 

Nell'equazione di Bernoulli possiamo cancellare il termine che contiene h_1; siamo infatti liberi di fissare un sistema di riferimento con livello zero per le altezze a nostro piacimento, e in questo modo fissando h_1=0 ne consegue che h_2=5\mbox{ m}.

 

Nell'equazione di continuità invece possiamo sostituire la sezione S_2 con 4S_1, come stabilito dai dati del problema.

 

 \begin{cases} v_{1}S_{1} = v_{2}4S_{1} \\ p_{1} + \frac{1}{2} \rho v_{1}^{2} = p_{2} + \frac{1}{2} \rho v_{2}^{2} + \rho gh_{2} \end{cases}

 

A questo punto possiamo ricavare la velocità v_1 dalla prima equazione e sostituirla nella seconda.

 

 \begin{cases} v_{1} = 4v_{2} \\ p_{1} + \frac{1}{2} \rho (4v_{2})^{2} = p_{2} + \frac{1}{2} \rho v_{2}^{2} + \rho gh_{2} \end{cases}

 

Con semplici calcoli passiamo a

 

 \begin{cases} v_{1} = 4v_{2} \\ 8 \rho v_{2}^{2} - \frac{1}{2} \rho v_{2}^{2} = p_{2} - p_{1} + \rho gh_{2} \end{cases}

 

da cui

 

\\ v_{2} = \sqrt{\frac{p_{2} - p_{1} + \rho gh_{2}}{\frac{15}{2} \rho}} =\\ \\ \\ =\sqrt{\frac{25000\mbox{ Pa} + \left(1000\ \frac{\mbox{kg}}{\mbox{m}^3}\right) \cdot \left(9,81\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}\right) \cdot (5\mbox{ m})}{\frac{15}{2}\cdot \left(1000\ \frac{\mbox{kg}}{\mbox{m}^3}\right)}}\simeq 3,14\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}

 

Dimostrazione del teorema di Bernoulli

 

Il teorema di Bernoulli è una particolare legge di conservazione che coinvolge le grandezze caratteristiche dei fluidi e discende direttamente dalle leggi di conservazione dell'energia, ed è da queste che si parte per formulare la dimostrazione della legge di Bernoulli.

 

Partiamo dal principio per cui il lavoro compiuto dalle forze su un volume infinitesimo dV di fluido è uguale alla sua variazione di energia cinetica.

 

Le forze in gioco qui sono di due tipi: la forza peso e le forze di pressione.

 

 

Teorema di Bernoulli

Dimostrazione del teorema di Bernoulli.

 

 

Il lavoro compiuto dalla forza peso per spostare il volume di fluido dV dalla zona 1 alla zona 2 è uguale alla variazione di energia potenziale gravitazionale:

 

\\ dL_{peso} = - dE_{p} =\\ \\ =-mg(h_{2} - h_{1}) = - \rho dV g (h_{2} - h_{1})

 

Il lavoro complessivo delle forze di pressione è dato dalla differenza tra il lavoro compiuto dalla pressione p_1 e quello compiuto dalla pressione p_2. Indicando con dx_1,\ dx_2 lo spostamento di fluido in due punti differenti del condotto, possiamo scrivere:

 

\\ dL_{pressione} = F_{1} dx_{1} - F_{2} dx_{2} = \\ \\ =p_{1}S_{1} dx_{1} - p_{1}S_{1} dx_{1} = p_{1} dV_{1} - p_{2} dV_{2}

 

dove nell'ultimo passaggio abbiamo usato la formula per il volume di un cilindro. Poiché il fluido considerato è ideale per ipotesi, ne consegue che è incomprimibile e dunque il volume non cambia:

 

 dL_{pressione} = (p_{1} - p_{2}) dV

 

La variazione di energia cinetica può essere scritta nel modo seguente:

 

 dE_{c} = \frac{1}{2}dmv_{2}^{2} - \frac{1}{2}dmv_{1}^{2} = \frac{1}{2} \rho dV(v_{2}^{2} - v_{1}^{2})

 

Dunque, per la conservazione dell'energia, si ha che:

 

 dL_{peso} + dL_{pressione} = dE_{c}

 

Esplicitiamo i termini che compaiono nell'equazione

 

- \rho dV g (h_{2} - h_{1}) + (p_{1} - p_{2}) dV = \frac{1}{2} \rho dV(v_{2}^{2} - v_{1}^{2})

 

Semplifichiamo il termine dV

 

- \rho g (h_{2} - h_{1}) + (p_{1} - p_{2}) = \frac{1}{2} \rho (v_{2}^{2} - v_{1}^{2})

 

e, riordinando i vari termini, giungiamo all'equazione di Bernoulli per come l'avevamo scritta nell'enunciato del teorema

 

p_{1} + \frac{1}{2} \rho v_{1}^{2} + \rho gh_{1} = p_{2} + \frac{1}{2} \rho v_{2}^{2} + \rho gh_{2}

 

Analisi dimensionale e significato dell'equazione di Bernoulli

 

Effettuando l'analisi dimensionale delle grandezze coinvolte nella legge di Bernoulli si vede che ciascun termine ha le dimensioni della pressione e che, visto in altro modo, ha anche le dimensioni di un'energia per unità di volume (J/m3). Il primo termine è infatti proprio un'energia per unità di volume: lo si può verificare partendo dalla definizione di pressione come rapporto tra la forza e la superficie e moltiplicando numeratore e denominatore per uno spostamento d del fluido lungo il condotto. A numeratore compare il prodotto della forza per lo spostamento, ovvero il lavoro (e quindi di un'energia) mentre a denominatore compare un volume.

 

 p = \frac{F}{S} = \frac{Fd}{Sd} = \frac{L}{V}

 

Il secondo termine è invece un'energia cinetica per unità di volume e il terzo un'energia potenziale gravitazionale per unità di volume. È chiaro allora che la legge di Bernoulli non è altro che una nuova formulazione della legge di conservazione dell'energia per unità di volume.

 

Se osservate attentamente l'equazione di Bernoulli

 

p_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2+\rho gh_1=p_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2+\rho gh_2

 

dovreste accorgervi che, per un fluido in movimento, al crescere della velocità diminuisce la pressione e viceversa. Infatti, poiché la somma dei tre termini dell'equazione deve rimanere costante, al crescere di una grandezza deve necessariamente diminuirne un'altra.

 

Potrebbe sembrarvi strano a prima vista, ma dobbiamo ricordarci che l'equazione di Bernoulli non è altro che la legge di conservazione dell'energia per unità di volume riscritta in modo da mettere in evidenza le grandezze caratteristiche dei fluidi come la pressione e la densità. Dunque, quando la pressione diminuisce, sta diminuendo la corrispondente forma di energia che si trasformerà in un'altra forma, ed in particolare in energia cinetica col conseguente aumento della velocità.

 

Ecco che allora la relazione tra pressione e velocità espressa dal teorema di Bernoulli è solo una diretta conseguenza del continuo "travaso" di energia da una forma all'altra.

 

Applicazioni del teorema di Bernoulli

 

Dopo aver visto la formula e dopo aver analizzato il significato dell'equazione occupiamoci delle applicazioni fisiche del teorema di Bernoulli. Questo principio si ritrova in tantissime situazioni quotidiane e può essere sfruttato a nostro vantaggio in alcune applicazioni tecnologiche. Vediamone alcune.

 

1) Tutti noi abbiamo visto almeno una volta le immagini di case scoperchiate durante un uragano. Ma perché il vento forte riesce a staccare il tetto delle case? Ce lo dice la legge di Bernoulli: all'esterno della casa il vento soffia a grande velocità, mentre all'interno l'aria è statica ed ha velocità nulla. Di conseguenza all'esterno, laddove la velocità è maggiore, la pressione è minore rispetto alla normale pressione atmosferica presente all'interno.

 

Di conseguenza il tetto è soggetto ad una differenza di pressione che lo spinge dall'interno verso l'alto, e a volte tale forza può essere sufficientemente grande da permettere all'uragano di portare il tetto via con sè. :(

 

2) Lo stesso identico principio si manifesta anche col fumo di sigaretta in auto. Se fumate in macchina col finestrino aperto, mentre viaggiate, vedrete il fumo uscire spontaneamente dal finestrino. L'aria all'esterno dell'auto scorre all'indietro con una certa velocità, mentre quella all'interno è ferma; così si ha che la pressione esterna è minore di quella interna e il fumo è spinto verso l'esterno, cioè dalla zona a maggiore pressione verso quella a minor pressione.

 

È vero che in realtà l'aria esterna è ferma per un sistema di riferimento solidale con l'ambiente circostante, ma nel sistema di riferimento dell'auto è quest'ultima a restare ferma ed è l'aria esterna che si muove in direzione contraria.

 

3) Se qualcuno di voi ha avuto la sfortuna di sperimentare la doccia con la tenda e non con il box rigido, allora almeno una volta avrà provato la sensazione di gelo che si prova quando, in un momento di distrazione, la tenda vi si appiccica addosso. Anche questo spiacevole inconveniente è causato dall'equazione di Bernoulli; all'interno della doccia infatti l'aria calda e il vapore tendono a muoversi verso l'alto perché più leggeri, mentre l'aria all'esterno rimane ferma. All'interno della doccia la pressione è minore e ciò fa sì che la tenda venga risucchiata verso l'interno.

 

4) Un'applicazione tecnologica è data dal nebulizzatore, come quello che si trova nelle boccette di profumo. Avete presenti le boccette antiche? Esse sono dotate di una sorta di palloncino montato sulla parte superiore e, schiacciandolo, il profumo nebulizzato viene spruzzato all'esterno.

 

Ciò accade perché l'aria che esce dal palloncino scorre all'interno di un tubicino di piccola sezione; restringendo la sezione, l'aria scorre più velocemente diminuendo la propria pressione. In questo modo il liquido che si trova dentro la boccetta ad una pressione più alta viene spinto verso l’alto e si immette nel getto d’aria che scorre nel tubicino, generando così delle piccole goccioline di profumo nebulizzato. Lo stesso principio sta alla base del carburatore dei motori delle auto che immettono benzina nebulizzata nei cilindri, dove avviene lo scoppio della miscela di aria e benzina.

 

 


 

 

Nell'introduzione abbiamo scritto che il principio di Bernoulli è la più importante legge della fluidodinamica. Per darvene prova ne studieremo alcuni effetti nelle lezioni successive. Nella fattispecie analizzeremo tre situazioni particolari che meritano una trattazione a parte: l'effetto Magnus, la portanza e l'effetto Venturi.

 

Per il momento è tutto. Se siete in cerca di esercizi svolti vi raccomandiamo l'uso della barra di ricerca interna, dal momento che qui su YM ci sono tantissimi esercizi risolti e spiegati in dettaglio. :)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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