Teorema di Torricelli

Il teorema di Torricelli per i fluidi è un risultato della fluidodinamica che consiste in una formula e che permette di calcolare la velocità di fuoriuscita di un liquido da un serbatoio, nell'ipotesi per cui la superficie del foro sia molto più piccola rispetto alla superficie libera.

 

Oltre al celeberrimo esperimento di Torricelli che abbiamo studiato tra le lezioni di fluidostatica, il contributo del matematico e fisico italiano nello studio dei fluidi risiede in un ulteriore risultato, detto legge di Torricelli in suo onore. Qui di seguito ne forniremo la formula e, oltre alla dimostrazione, vedremo un esempio di applicazione pratica.

 

Nota bene: se state cercando il teorema di Torricelli-Barrow per il calcolo integrale, lo trovate nella lezione del link. ;)

 

Teorema di Torricelli per i fluidi

 

Il teorema di Torricelli consiste di una formula che permette di calcolare la velocità di fuoriuscita di un liquido da un contenitore, stabilendo che essa dipende solamente dalla distanza a cui è collocato il foro rispetto alla superficie libera del liquido.

 

Consideriamo un grande serbatoio d'acqua al quale è stato applicato un piccolo foro su una parete laterale, ad una certa distanza dalla superficie libera dell'acqua. La pressione agente in corrispondenza del foro, dovuta alla colonna d'acqua sovrastante, spinge l'acqua fuori dal foro con una certa velocità. In un contesto del genere ci aspettiamo che all'aumentare della profondità del foro aumenti la velocità di fuoriuscita del liquido, perché dalla legge di Stevino al crescere della profondità aumenta la pressione.

 

 

Teorema di Torricelli

Teorema di Torricelli e fuoriuscita di un liquido da un serbatoio.

 

 

La formula del teorema di Torricelli ci dice che la velocità con cui l'acqua fuoriesce dal foro del serbatoio è data da:

 

v=\sqrt{2gh}

 

Come ci aspettavamo la velocità dipende da un unico parametro: la distanza h del foro dalla superficie libera. Attenzione perché con h non di intende l'altezza del foro da terra, ma la sua profondità rispetto alla sommità del fluido nel contenitore, con la stessa logica della profondità h della legge di Stevino.

 

Validità del teorema di Torricelli

 

Bisogna tenere ben presente che la legge di Torricelli è valida sotto una precisa ipotesi: la superficie del foro deve essere molto più piccola rispetto alla superficie libera del liquido. Bisogna infatti pensare che la superficie libera non rimane ferma, ma scende man mano che il liquido fuoriesce dal foro. Anche la superficie libera quindi possiede una propria velocità; se però la superficie del foro è molto più piccola rispetto a quella libera, allora la velocità con cui il liquido esce dal foro è molto maggiore di quella con cui il liquido scende attraverso il contenitore (per via dell'equazione di continuità). Quest'ultima allora può essere trascurata ed è in questa ipotesi che si giunge alla formulazione della legge di Torricelli.

 

Dimostrazione del teorema di Torricelli

 

Vediamo come si può dimostrare il teorema di Torricelli. Si parte dal teorema di Bernoulli considerando come zona 1 la superficie libera del liquido e come zona 2 il foro.

 

 p_{1} + \frac{1}{2} \rho v_{1}^{2} + \rho gh_{1} = p_{2} + \frac{1}{2} \rho v_{2}^{2} + \rho gh_{2}

 

Nell'ipotesi illustrata in precedenza, secondo cui il foro presenta una superficie molto più piccola di quella della superficie libera, la velocità v_1 con cui il fluido scende dalla sommità del contenitore è trascurabile e il termine che la contiene può essere eliminato dall'equazione.

 

Inoltre p_1,p_2 sono le due pressioni che si esercitano sul liquido alla superficie libera e in corrispondenza del foro. Se non vi sono altre pressioni oltre alla pressione atmosferica, ne consegue che p_1=p_2 e possono essere eliminate; ciò è dovuto al fatto che il foro è aperto e sul liquido fuoriuscente agisce proprio la pressione atmosferica. L'equazione allora diventa:

 

 \rho gh_{1} = \frac{1}{2} \rho v_{2}^{2} + \rho gh_{2}

 

A questo punto possiamo semplificare anche la densità perché compare in tutti i termini:

 

 gh_{1} = \frac{1}{2} v_{2}^{2} + gh_{2}

 

Non ci resta che ricavare la velocità v_2

 

v_{2}^{2} = 2g(h_{1} - h_{2})

 

e osservare che la differenza tra le altezze h_1-h_2 equivale alla profondità h

 

v_2=\sqrt{2gh}

 

e la formula della legge di Torricelli è così dimostrata.

 

Esempio di applicazione del teorema di Torricelli

 

Il getto di liquido che fuoriesce dal foro compie un moto parabolico, per cui nelle applicazioni e negli esercizi può capitare di dover ricorrere alle vecchie leggi sul moto parabolico. Supponiamo ad esempio di avere un serbatoio pieno di acqua in cui la superficie libera si trova ad un'altezza di 5 metri mentre il foro laterale si trova a 20 centimetri dal fondo. Vogliamo determinare la distanza dal serbatoio alla quale arriva il getto d'acqua in uscita dal foro.

 

Svolgimento: cominciamo col calcolare la velocità con cui l'acqua esce dal foro usando la formula del teorema di Torricelli.

 

v_2=\sqrt{2gh}=\sqrt{2 \cdot \left(9,81\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}\right) \cdot (4,8\mbox{ m})}=9,70\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}

 

A questo punto recuperiamo le leggi sul moto parabolico con l'intento di calcolare la distanza raggiunta dal liquido.

 

 \begin{cases} x = v_{0x}t + x_{0} \\ y = - \frac{1}{2}gt^{2} + v_{0y}t + y_{0} \end{cases}

 

La componente v_{0x} corrisponde a v_2 mentre v_{0y} è nulla, perché il getto d'acqua fuoriesce orizzontalmente. Inoltre lo spazio iniziale x_0 è zero, l'altezza finale y è zero mentre quella iniziale y_0 è pari a a 0,2 cm.

 

\begin{cases} x = v_{2}t \\ 0 = - \frac{1}{2}gt^{2} + y_{0} \end{cases}

 

Possiamo così ricavare il tempo dalla seconda equazione ed inserirlo poi nella prima per calcolare la x.

 

 \begin{cases} x = v_{2}t \\ t = \sqrt{\frac{2 y_{0}}{g}} \end{cases}

 

da cui

 

 \begin{cases} x = v_{2} \sqrt{\frac{2 y_{0}}{g}} \\ \\ t = \sqrt{\frac{2 y_{0}}{g}} \end{cases}

 

Con i dati a nostra disposizione ricaviamo x\simeq 1,96\mbox{ m}.

 


 

Ora che abbiamo acquisito le principali nozioni e teoremi della fluidodinamica è il momento per fare un passo in avanti e passare allo studio dei liquidi in rotazione, che saranno i protagonisti della lezione successiva. Come di consueto vi invitiamo ad usare la barra di ricerca interna per consultare tantissimi esercizi risolti e spiegati nel dettaglio. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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