Liquidi in rotazione

Mettendo un liquido in rotazione con una velocità angolare costante si osserva che la superficie libera assume la forma di un paraboloide di rotazione, la cui equazione dipende dalla velocità di rotazione e dalle caratteristiche del contenitore.

 

Proseguiamo nello studio della fluidodinamica analizzando il comportamento dei liquidi in rotazione all'interno di contenitori cilindrici, e per semplicità facciamo riferimento al caso di rotazioni con velocità angolare costante. Lo scopo di questa lezione prevede di analizzare da un punto di vista dinamico e matematico l'equazione della superficie libera di un liquido in rotazione uniforme.

 

Nota bene: per una piena comprensione dei passaggi matematici che presenteremo qui di seguito è previsto un livello di studi universitario. Gli studenti delle scuole superiori possono leggere per pura curiosità. ;)

 

Liquidi in rotazione uniforme

 

Quando facciamo ruotare dell'acqua all'interno di un bicchiere notiamo che la superficie libera non è più orizzontale, ma comincia a curvarsi formando una conca. Più è alta la velocità di rotazione, più la conca diventa profonda. Si tratta di un'esperienza che ci è molto familiare, ma perché i liquidi in rotazione presentano tale comportamento e qual è la forma che la superficie dell'acqua assume durante la rotazione?

 

Per rispondere, immaginiamo di avere un liquido in un recipiente cilindrico e di mettere in rotazione il liquido attorno all'asse verticale z coincidente con l'asse del cilindro, come in figura.

 

 

Liquidi in rotazione

 

 

Ogni singolo elemento di liquido di massa dm descrive una circonferenza attorno all'asse z con velocità angolare \omega. Per studiarne il moto dobbiamo quindi fare appello alle leggi sul moto circolare uniforme.

 

In particolare, poniamoci nel sistema di riferimento non inerziale solidale col fluido; se ruotiamo assieme al fluido, ci accorgiamo che l'elemento di fluido dm è soggetto a due forze: la forza peso diretta verso il basso e la forza centrifuga diretta verso l'esterno del recipiente, perpendicolarmente all'asse z e lungo la direzione radiale \vec{r}, come in figura.

 

Dunque la forza totale alla quale è soggetta un elemento di liquido di massa dm è:

 

 F = dmg + dm \omega^{2} r

 

Se vogliamo scrivere tale equazione in forma vettoriale, dobbiamo osservare che la posizione di dm data da \vec{r} può essere scritta nel modo seguente:

 

 \vec{r} = x \hat{i} + y \hat{j}

 

dove x e y sono le coordinate cartesiane che si ottengono proiettando la posizione di dm sul piano orizzontale all'altezza del fondo del recipiente. Se consideriamo poi che la gravità si esercita lungo l'asse z ed è diretta verso il basso, possiamo scrivere

 

 \vec{F} = - dm g \hat{k} + dm \omega^{2} (x \hat{i} + y \hat{j})

 

Da qui si può ricavare l'espressione dell’energia potenziale dato che abbiamo a che fare con due forze conservative:

 

 E = dm g z - \frac{1}{2} dm \omega^{2} (x^{2} + y^{2})

 

Si può verificare che la forza è uguale all'opposto del gradiente dell'energia potenziale:

 

 \vec{F} = - \nabla E

 

Infatti:

 

 \vec{F} = - \left( - dm \omega^{2} x\ ;\ - dm \omega^{2} y\ ;\ dm g \right) = - dm g \hat{k} + dm \omega^{2} (x \hat{i} + y \hat{j})

 

Quando l'elemento di liquido ruota a velocità angolare costante, il liquido è in equilibrio perché la forza peso e quella centrifuga su dm sono controbilanciate dalle forze di pressione degli elementi circostanti. Pertanto la superficie libera del liquido è una superficie equipotenziale, e ciò significa che l'espressione scritta in precedenza per l'energia potenziale è costante per qualunque punto della superficie.

 

 dm g z - \frac{1}{2} dm \omega^{2} (x^{2} + y^{2}) =\mbox{costante}

 

Per ricavare il valore di tale costante possiamo pensare al punto che si trova sull'asse z, dunque con r=0 e che ha di conseguenza coordinate (0,0,h). Calcolando l'energia in questo punto si ottiene:

 

 E(0, 0, h) = dmgh

 

Sostituiamo il valore della costante nell'equazione dell'energia potenziale:

 

 dm g z - \frac{1}{2} dm \omega^{2} (x^{2} + y^{2}) = dmgh

 

Semplifichiamo la massa e ricaviamo la coordinata z in funzione delle altre due:

 

 g z - \frac{1}{2} \omega^{2} (x^{2} + y^{2}) = gh

 

da cui

 

 z = \frac{\omega^{2}}{2g} (x^{2} + y^{2}) + h

 

Questa è l'equazione di un paraboloide di rotazione, una superficie tridimensionale che si ottiene facendo ruotare una parabola attorno al suo asse di simmetria. In matematica l'equazione generale del paraboloide di rotazione é:

 

 z = \alpha (x^{2} + y^{2}) + h

 

e come potete notare la struttura è identica. Se osservate di profilo il liquido che ruota, come rappresentato nella figura in alto, vedete la superficie del liquido disegnare un arco di parabola e non una curva casuale. h rappresenta l’altezza rispetto al fondo del recipiente che il paraboloide raggiunge nel suo vertice. Si può dimostrare che tale altezza dipende dalla velocità angolare secondo la legge:

 

 h = d - \frac{\omega^{2} R^{2}}{4g}

 

dove d è l'altezza del liquido da fermo, mentre R è il raggio del recipiente cilindrico. Si vede allora che ad una maggiore velocità angolare \omega corrisponde un'altezza h che si riduce rispetto a quella iniziale d.

 

 


 

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Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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