Vortici

Un vortice in fluidodinamica è un moto rotatorio in cui un fluido ruota attorno ad un asse stringendosi intorno ad esso, ed in cui la velocità aumenta avvicinandosi all'asse di rotazione. I vortici sono fenomeni estremamente diffusi in natura, basti pensare ai vortici d'acqua o alle trombe d'aria.

 

Il termine vortice in Fisica ha un significato ben preciso che viene spesso trasposto nel linguaggio comune per indicare l'evoluzione turbolenta di una certa situazione (si pensi ad esempio alle espressioni vortice di paura o vortice di emozioni). Ma che cos'è un vortice in termini fisici?

 

In questa lezione proponiamo una descrizione fluidodinamica del modello dei vortici, ricavando una semplice formula che ne descrive il comportamento ed analizzandone le proprietà da un punto di vista fisico e matematico. Per concludere vi proponiamo un paio di video sui vortici, in modo da avere un riscontro efficace della teoria proposta. ;)

 

Cosa sono i vortici

 

Per introdurre la definizione di vortice partiamo da un esempio della vita quotidiana. Sappiamo bene tutti cosa accade se togliamo il tappo sul fondo di un contenitore pieno di liquido: si forma un vortice con il liquido che si avvolge su se stesso attorno all'asse perpendicolare alla superficie libera e passante per il foro, e che scende verticalmente.

 

La superficie libera si incava dunque a formare una sorta di imbuto. Il liquido ruota ad una velocità crescente man mano che ci si avvicina all'asse. È lo stesso fenomeno che si può osservare a volte nei mari (vortici marini) e che tende ad inghiottire le navi che hanno la sfortuna di trovarsi da quelle parti.

 

Spiegazione fisica e formule dei vortici

 

Vediamo come è possibile inquadrare il modello da un punto di vista matematico e quali sono le formule dei vortici che consentono di descriverne il comportamento. Facendo uso di quello che sappiamo sui fluidi, partiamo dall'ipotesi di avere a che fare con un fluido ideale, che per definizione non è soggetto ad attriti ed è incomprimibile. Le uniche forze agenti sul liquido sono quelle di pressione, che si esercitano in modo radiale, e la forza peso che si esercita come sempre in verticale.

 

 

Vortici

 

 

Le forze agenti lungo la direzione radiale sono perpendicolari all'asse di rotazione del liquido, e pertanto il momento angolare si conserva; questo significa che possiamo scrivere la legge di conservazione del momento angolare per un elemento di fluido di massa dm.

 

Consideriamo due istanti di tempo: il primo in cui il fluido comincia a ruotare (istante iniziale) con una certa velocità v_i e una distanza dall'asse di rotazione r_i, e il secondo quando l'elemento dm ha raggiunto una velocità v e si trova ad una distanza r dall'asse.

 

Per la conservazione del momento angolare si ha:

 

 dm v_{i} r_{i} = dm vr

 

da cui

 

v_ir_i=vr

 

ossia

 

v=\frac{v_ir_i}{r}

 

Da qui si evince la prima caratteristica dei vortici: la velocità in un vortice è inversamente proporzionale alla distanza dall'asse, dunque ad una grande distanza (r\to +\infty) la velocità è nulla, mentre se la distanza tende a zero la velocità tende a diventare infinita.

 

In fin dei conti la proprietà che abbiamo appena ricavato non dovrebbe sorprenderci perché, come detto all'inizio, sapevamo già che in un vortice la velocità è tanto più alta quanto più ci si trova vicino all'asse di rotazione ed è praticamente nulla quando ci trova molto lontani dall'asse. Un discorso simile vale per la velocità angolare \omega, che non è uniforme ma può essere ricavata grazie alle formule del moto circolare a noi note:

 

\omega = \frac{v}{r} = \frac{v_{i}r_{i}}{r^{2}} = \frac{\omega_{i}r^{2}_{i}}{r^{2}}

 

Ed eccoci alla seconda proprietà dei vortici: la velocità angolare è inversamente proporzionale al quadrato della distanza dall'asse. Il tipo di proporzionalità cambia rispetto alla velocità v, ma possiamo comunque affermare che la velocità angolare \omega aumenta al descrescere della distanza dall'asse di rotazione.

 

Equazione della superficie libera di un vortice

 

Ora vogliamo scoprire se la forma che un fluido assume in un vortice è descrivibile mediante un'equazione matematica precisa, vale a dire come luogo geometrico. Per farlo consideriamo un tubo di flusso infinitesimo posto sulla superficie libera del fluido: su tale tubo è possibile applicare il teorema di Bernoulli considerando che la pressione esterna è pari a alla pressione atmosferica.

 

 p_{atm} + \frac{1}{2} \rho v^{2} + \rho gz =C

 

dove C indica una costante. Riscriviamo l'equazione in favore della quota z:

 

 z = \frac{C - p_{atm} - \frac{1}{2} \rho v^{2}}{\rho g}

 

Ora affidiamoci ad un piccolo stratagemma. La velocità sul fondo è nulla, per cui la legge di Bernoulli ci permette di scrivere

 

p_{atm}+\rho gh=C\ \to\ h = \frac{C - p_{atm}}{\rho g}

 

dove h indica la profondità del fluido a riposo. Ne ricaviamo per sostituzione

 

z= h - \frac{v^{2}}{2g}

 

ed infine usiamo la formula per la velocità nei vortici

 

z=h - \frac{v_{i}^{2}r_{i}^{2}}{2gr}

 

Abbiamo così trovato l'equazione della superficie libera di un vortice. È facile notare che, se ci allontaniamo dall'asse di rotazione (r\to +\infty), allora l'altezza z della superficie libera rispetto al fondo raggiunge il livello h, mentre se ci avviciniamo all'asse fino a raggiungerlo (r\to 0) allora l'altezza z tende a -\infty, cioè il fluido scende sempre più in basso senza mai toccare l'asse e acquisendo una velocità crescente.

 

Vortici con fluidi reali

 

Discostandoci dal modello dei fluidi ideali e passando a considerare i fluidi reali, che sono comprimibili e viscosi, il modello dei vortici si complica notevolmente. In realtà da un punto di vista dinamico è proprio la viscosità la principale causa per cui si vengono a generare i vortici nei liquidi e nei gas. A causa della complessità del modello reale, in questa lezione ci limitiamo all'analisi nel caso ideale che fornisce comunque informazioni estremamente dettagliate sul comportamento dei vortici e che continuano a valere anche nel caso reale.

 

Video sui vortici

 

Concludiamo la lezione passando dalla teoria alla pratica. I vortici sono fenomeni naturali affascinanti e pericolosi al tempo stesso: basti pensare ai vortici marini o ai vortici atmosferici.

 

Ecco un esempio di vortice d'acqua: notate come la velocità aumenti man mano che l'acqua si avvicina all'asse di rotazione.

 

 

 

 

Le trombe d'aria e i tornado sono invece esempi perfetti di vortici gassosi

 

 

 

 

Un'ultima osservazione finale: nel caso dei vortici marini ed atmosferici il senso di rotazione dei fluidi, che può essere orario o antiorario, dipende dall'emisfero in cui essi si manifestano. Nell'emisfero boreale i vortici si sviluppano in senso antiorario, mentre nell'emisfero australe seguono il senso orario. Il diverso comportamento è dovuto al moto di rotazione della Terra ed in particolare alla forza di Coriolis.

 


 

Con questo è tutto. :) Vi anticipiamo che la prossima lezione è molto importante perché riguarda la viscosità e ci permetterà di addentrarci nello studio della fluidodinamica con i fluidi reali. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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