Costante di gravitazione universale

La costante di gravitazione universale è la costante che compare nella legge di gravitazione universale e che regola il calcolo della forza di attrazione gravitazionale tra due corpi. Detta anche costante gravitazionale, è caratterizzata dalla proprietà di invarianza in qualsiasi punto dell'Universo.

 

Nella precedente lezione abbiamo introdotto la formula della legge di gravitazione commentandone il significato. Ora vogliamo analizzare un po' più a fondo il ruolo ricoperto dalla costante di gravitazione universale e proporre qualche esempio svolto sul calcolo della forza di interazione. :)

 

Valore della costante di gravitazione universale

 

Ripartiamo dal valore della costante di gravitazione universale, che abbiamo già anticipato in precedenza quando abbiamo introdotto la formula per il calcolo della forza di interazione gravitazionale

 

\\ F=G\frac{m_1m_2}{r^2}\\ \\G=6,67\cdot 10^{-11}\ \frac{\mbox{N}\cdot \mbox{m}^2}{\mbox{kg}^2}

 

A giudicare dall'esponente è facile accorgersi che il valore della costante G è davvero molto piccolo. Se non vi stupisce scritto in notazione scientifica, per esteso andrebbe scritto come:

 

G=0,0000000000667\ \frac{\mbox{N}\cdot \mbox{m}^2}{\mbox{kg}^2}

 

Nonostante il fatto che, dal punto di vista teorico, la forza di attrazione gravitazionale si applichi a qualunque coppia di corpi dotati di massa (tra voi e il vostro smartphone, tra il frigorifero e il televisore, tra il divano e il televisore, e così via), il valore così piccolo della costante G fa sì che, nella pratica, la forza che si esercita costantemente tra i corpi che ci circondano sia talmente piccola da essere totalmente trascurabile. Questa è la prima, fondamentale proprietà della costante di gravitazione universale.

 

Esempio: valore della forza e costante di gravitazione universale

 

Proviamo a calcolare il modulo della forza di attrazione gravitazionale tra un libro di 0,4 kg poggiato su una scrivania e una persona di 65 kg posti ad una distanza di mezzo metro.

 

F=6,67\cdot 10^{-11}\ \frac{\mbox{N}\cdot\mbox{m}^2}{\mbox{kg}^2}\cdot \frac{(0,4\mbox{ kg}) \cdot (65\mbox{ kg})}{(0,5\mbox{ m})^2}=6,94\cdot 10^{-9}\mbox{ N}

 

Circa sette miliardesimi di newton! Ora supponiamo che tra il libro e il tavolo vi sia un coefficiente di attrito statico pari a 0,15 e calcoliamo la forza d'attrito che bisognerebbe vincere per mettere in moto il libro da fermo.

 

F_A=\mu mg=0,15 \cdot (0,4 \mbox{ kg})\cdot \left(9,81\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}\right)=0,589\mbox{ N}

 

La forza di attrito statico e circa 85 milioni di volte più grande di quella gravitazionale.

 

È quindi facile capire perché le cose non ci si appiccicano addosso a causa della forza di attrazione gravitazionale, e anche perché non ci sentiamo per nulla attirati da nessuno dei corpi che ci circondano. L'esempio mette ben in luce il ruolo fisico della costante di gravitazione universale nell'interazioni tra oggetti di piccola massa. ;)

 

L'unica forza che riuscite realmente a percepire è quella dovuta alla presenza della Terra; è infatti necessario avere a che fare con corpi celesti dalle masse gigantesche per far sì che la forza di attrazione gravitazionale diventi percepibile. Se calcolate infatti la forza tra il libro di prima e la Terra, tenendo conto che la massa della Terra è indicativamente pari a 5,98·1024 kg, posti ad una distanza pari al raggio terrestre, otteniamo:

 

F=6,67\cdot 10^{-11}\ \frac{\mbox{N}\cdot\mbox{m}^2}{\mbox{kg}^2}\cdot \frac{(0,4\mbox{ kg})\cdot(5,98\cdot 10^{24}\mbox{ kg})}{(6,37\cdot 10^6\mbox{ m})^2}=3,9\mbox{ N}

 

e questa è una forza che riusciamo a percepire decisamente di più.

 

Unità di misura della costante di gravitazione universale

 

Vi confidiamo un piccolo segreto: nessuno di noi si ricorda mai (ma proprio mai!) l'unità di misura della costante G, eppure nel momento del bisogno riusciamo sempre a scriverle correttamente senza sbirciare sul libro. Come ci riusciamo?

 

Il metodo è estremamente semplice: la ricaviamo a partire dalla formula della legge di gravitazione universale, secondo il principio per cui le unità di misura a sinistra e a destra dell'uguale devono essere le stesse. Guardiamo allora la legge della gravitazione dal punto di vista delle unità di misura:

 

\\ F=G\frac{m_1m_2}{r^2}\\ \\ \mbox{N}=\ ? \ \frac{\mbox{kg}^2}{\mbox{m}^2}

 

Al posto del punto interrogativo dobbiamo inserire l'unità di misura di G. Se a sinistra dell'uguale c'è il newton, vuol dire che per la G dobbiamo far comparire i newton a numeratore. I chilogrammi al quadrato invece non compaiono a sinistra, quindi a destra devono sparire e siccome sono scritti a numeratore, dobbiamo riportarli a denominatore, in modo che si semplifichino. Stesso discorso anche per i metri quadrati, che riportiamo a numeratore così che si semplifichino con quelli già presenti a denominatore.

 

E voilà! Ecco l'unità di misura della costante di gravitazione universale, senza doverla ricordare a memoria:

 

\frac{\mbox{N}\cdot \mbox{m}^2}{\mbox{kg}^2}

 

Se vi piace questo metodo, potete usarlo ovunque vogliate, specialmente per le costanti fisiche che, in quanto a unità di misura, sono sempre le peggiori! ;)

 

 


 

Qui abbiamo finito. Vi aspettiamo nella lezione successiva, dove parleremo dell'esperimento di Cavendish. Come al solito rinnoviamo il nostro invito e vi suggeriamo di fare buon uso della barra di ricerca interna per reperire tutti gli esercizi svolti che vi possono interessare. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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